Question

已知函數．
（1）是否存在實數a使得f（x）為奇函數？若存在，求出a的值并證明；若不存在，說明理由；
（2）在（1）的條件下判斷f（x）的單調性，并用定義加以證明．

Answer 1

解：（1）存在a使得函數f（x）為奇函數．
證明：假設存在這樣的a的值，∵函數f（x）的定義域為實數集R，∴f（0）=0，∴，解得a=1．
當a=1時，f（x）=．
∵==-f（x），
∴a=1時，函數f（x）為奇函數．
（2）在（1）的條件下，f（x）===在實數集R上單調遞增．
證明：?x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）==
=，
∵x₁＜x₂，∴，，．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數f（x）在R上單調遞增．
分析：（1）利用函數的奇偶性即可判斷出；
（2）先判斷函數的單調性，再利用函數的單調性的定義即可證明其單調性．
點評：熟練掌握函數的奇偶性和單調性是解題的關鍵．