Question

已知函數．
（1）是否存在a＜b且a，b∈[1，+∞），使得當函數f（x）的定義域為[a，b]時，值域為？若存在，求出a，b的值，若不存在，說明理由；
（2）若存在實數a，b（a＜b），使得函數f（x）的定義域為[a，b]，值域為[ma，mb]（m≠0），求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數的單調性，確定函數的最值，即可求得結論；
（2）分類討論，確定函數的單調性，結合函數的值域，即可求實數m的取值范圍．
解答：解：（1）若存在，則由于當a，b∈[1，+∞）時，在[1，+∞）單調遞增，則，可知a，b是方程x²-8x+8=0的實根，求得滿足條件…..（6分）
（2）若存在，則易知m＞0，a＞0
當a，b∈（0，1）時，由于在（0，1）單調遞減，則可得f（a）=mb，f（b）=ma，則得，相減得，
由于a≠b，則，所以，∴-1=0，這是不可能的，
故此時不存在實數a，b滿足條件；…（8分）
當a∈（0，1），b∈[1，+∞）時，顯然1∈[a，b]，而f（1）=0則0∈[a，b]，矛盾．
故此時也不存在實數a，b滿足條件；…（10分）
當a，b∈[1，+∞）時，由于在[1，+∞）單調遞增，則f（a）=ma，f（b）=mb，
∴a，b是方程mx²-x+1=0的兩個大于1的實根，
∴由可得m的取值范圍是．…（14分）
點評：本題考查函數與方程的綜合運用，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．