Question

【題目】已知正三棱柱中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上．

（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）是否存在點(diǎn)，使二面角等于？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在點(diǎn)，且.

【解析】

試題分析：（1）借助題設(shè)條件運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)定理推證；（2）借助題設(shè)運(yùn)用空間向量的數(shù)量積公式建立方程求解.

試題解析：

（1）證明：連接，

因?yàn)?/span>為正三棱柱，所以為正三角形，

又因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，

又平面平面，平面平面，

所以平面，所以．

因?yàn)?/span>，，，所以，，

所以在中，，

在中，，所以，即，

又，

所以平面，平面，所以．

（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè)，

取的中點(diǎn)，連接，則平面，

所以，，

分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

所以，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則即令，得，

同理，平面的一個(gè)法向量為，

則即取，得，

所以，解得，

故存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，二面角等于．