Question

【題目】已知f（x）=ax3﹣x2﹣x+b（a，b∈R，a≠0），g（x）= （e是自然對數的底數），f（x）的圖象在x=﹣ 處的切線方程為y= ．
（1）求a，b的值；
（2）探究直線y= ．是否可以與函數g（x）的圖象相切？若可以，寫出切點的坐標，否則，說明理由；
（3）證明：當x∈（﹣∞，2]時，f（x）≤g（x）．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3ax2﹣2x﹣1，

∵f（x）的圖象在x=﹣ 處的切線方程是y= x+ ，

故f′（﹣ ）= ，即3a ﹣2（﹣ ）﹣1= ，解得：a=1；

故f（x）的圖象過A（﹣ ， ），

故 ﹣ ﹣（﹣ ）+b= ，解得：b= ，

綜上，a=1，b=

（2）解：設直線y= x+ 與函數g（x）的圖象相切于A（x0，y0），

∵g′（x）= ex，∴過A點的直線的斜率是g′（x0）= ，

又直線y= x+ 的斜率是 ，故 = ，解得：x0=﹣ ，

將x0=﹣ 代入y= ex得點A的坐標是（﹣ ， ），

故切線方程為：y﹣ = （x+ ），化簡得y= x+ ，

故直線y= x+ 可以與函數g（x）的圖象相切，切點坐標是（﹣ ， ）

（3）證明：要證明：x∈（﹣∞，2]時，f（x）≤g（x），

只需證明x∈（﹣∞，2]時，f（x）≤ x+ ，

令k（x）= x+ ﹣f（x）=﹣x3+x2+ x+ ，

k′（x）=﹣3x2+2x+ ，令k′（x）=﹣3x2+2x+ =0，

解得：x=﹣ ，x= ，

故k（x）min=min{k（﹣ ），k（2）}，

∵k（﹣ ）=0，k（2）=0，故k（x）min=0，

故x∈（﹣∞，2]，f（x）≤ x+ 成立，

x∈（﹣∞，2]，令h（x）=g（x）﹣（ x+ ）= ex﹣ x﹣ ，

h′（x）= ex﹣ ，令h′（x）=0，x=﹣ ，

x∈（﹣∞，﹣ ）時，h′（x）＜0，當x∈（﹣ ，2]時，h′（x）＞0，

故h（x）≥h（﹣ ）=0，即x∈（﹣∞，2]時，g（x）≥ x+ ，

由不等式的性質的傳遞性得：x∈（﹣∞，2]時，f（x）≤g（x）

【解析】（1）求出函數的導數，根據切線方程求出a的值，求出A的坐標，得到關于b的方程，解出即可；（2）設出切點A，根據切線方程求出A的坐標，從而求出切線方程，整理即可；（3）問題轉化為x∈（﹣∞，2]時，f（x）≤ x+ ，令k（x）= x+ ﹣f（x）=﹣x3+x2+ x+ ，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減才能正確解答此題．