如圖,在四棱錐S-ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD.底面ABCD為矩形,AD=
2
a,AB=
3
a
,SA=SD=a.
(Ⅰ)求證:CD⊥SA;
(Ⅱ)求二面角C-SA-D的大。
分析:法一:(Ⅰ)因?yàn)槠矫鍿AD⊥平面ABCD,CD⊥AD,且面SAD∩面ABCD=AD,所以CD⊥平面SAD.由此能夠證明CD⊥SA.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,CD⊥SA.在△SAD中,SA=SD=a,AD=
2
a
,所以SA⊥SD,所以SA⊥平面SDC.所以∠CSD為二面角C-SA-D的平面角.由此能夠求出二面角C-SA-D的大小.
法二:(Ⅰ)取BC的中點(diǎn)E,AD的中點(diǎn)P.在△SAD中,SA=SD=a,P為AD的中點(diǎn),所以,SP⊥AD.又因?yàn)槠矫鍿AD⊥平面ABCD,且平面SAD∩平面ABCD=AD,所以,SP⊥平面ABCD.PE⊥AD.以PA為x軸,PE為y軸,PS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,由向量法證明CD⊥SA. 
(Ⅱ)設(shè)
n
=(x,y,z)為平面CSA的一個(gè)法向量,則
2
2
ax-
2
2
az=0
2
ax-a
3
y=0
,所以
n
=(
3
,
2
3
)
PE
為平面SAD的一個(gè)法向量,
m
=(0,1,0)為平面SAD的一個(gè)法向量,由向量法能求出二面角C-SA-D的大。
解答:(本小題滿分14分)
法一:
證明:(Ⅰ)因?yàn)槠矫鍿AD⊥平面ABCD,CD⊥AD,且面SAD∩面ABCD=AD,
所以CD⊥平面SAD.
又因?yàn)镾A?平面SAD
所以CD⊥SA.                …(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,CD⊥SA.
在△SAD中,SA=SD=a,AD=
2
a
,
所以SA⊥SD,
所以SA⊥平面SDC.
即SA⊥SD,SA⊥SC,
所以∠CSD為二面角C-SA-D的平面角.
在Rt△CDS中,tan∠CSD=
CD
SD
=
3
a
a
=
3
,
所以二面角C-SA-D的大小
π
3
.      …(14分)
法二:
(Ⅰ)取BC的中點(diǎn)E,AD的中點(diǎn)P.
在△SAD中,SA=SD=a,P為AD的中點(diǎn),所以,SP⊥AD.
又因?yàn)槠矫鍿AD⊥平面ABCD,且平面SAD∩平面ABCD=AD
所以,SP⊥平面ABCD.顯然,有PE⊥AD.   …(1分)
如圖,以P為坐標(biāo)原點(diǎn),PA為x軸,PE為y軸,PS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
S(0,0,
2
2
a)
A(
2
2
a,0,0)
,B(
2
2
a,
3
a,0)
,C(-
2
2
a,
3
a,0)
,D(-
2
2
a,0,0)
.      …(3分)
(Ⅰ)易知
CD
=(0,-
3
a,0),
SA
=(
2
2
a,0,-
2
2
a)

因?yàn)?span id="hwtregi" class="MathJye">
CD
SA
=0,
所以CD⊥SA.       …(6分)
(Ⅱ)設(shè)
n
=(x,y,z)為平面CSA的一個(gè)法向量,
則有
2
2
ax-
2
2
az=0
2
ax-a
3
y=0
,所以
n
=(
3
,
2
3
)
.…(7分)
顯然,EP⊥平面SAD,所以
PE
為平面SAD的一個(gè)法向量,
所以
m
=(0,1,0)為平面SAD的一個(gè)法向量.…(9分)
所以 cos<n,m>=
2
2
2
=
1
2

所以二面角C-SA-D的大小為
π
3
.   …(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查異面直線垂直的證明,求二面角的大小.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意向量法的合理運(yùn)用.
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2
,AS=
3
,求:
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1
3
BC=1
,E為SD的中點(diǎn).
(1)若F為底面BC邊上的一點(diǎn),且BF=
1
6
BC
,求證:EF∥平面SAB;
(2)底面BC邊上是否存在一點(diǎn)G,使得二面角S-DG-A的正切值為
2
?若存在,求出G點(diǎn)位置;若不存在,說明理由.

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