精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐S-ABCD中,AD∥BC且AD⊥CD;平面CSD⊥平面ABCD,CS⊥DS,CS=2AD=2;E為BS的中點(diǎn),CE=
2
,AS=
3
,求:
(Ⅰ)點(diǎn)A到平面BCS的距離;
(Ⅱ)二面角E-CD-A的大小.
分析:(Ⅰ)根據(jù)線面平行的判定定理可知AD∥平面BCS,則從而A點(diǎn)到平面BCS的距離等于D點(diǎn)到平面BCS的距離,從而DS為點(diǎn)A到平面BCS的距離,在Rt△ADS中求出DS即可;
(Ⅱ)過E點(diǎn)作EG⊥CD,交CD于點(diǎn)G,又過G點(diǎn)作GH⊥CD,交AB于H,根據(jù)二面角平面角的定義可知∠EGH為二面角E-CD-A的平面角,過E點(diǎn)作EF∥BC,交CS于點(diǎn)F,連接GF,在Rt△FEG中,求出此角即可.
解答:解:(Ⅰ)因?yàn)锳D∥BC,且BC?平面BCS,
所以AD∥平面BCS,
從而A點(diǎn)到平面BCS的距離等于D點(diǎn)到平面BCS的距離.
因?yàn)槠矫鍯SD⊥平面ABCD,AD⊥CD,
故AD⊥平面CSD,從而AD⊥SD,
由AD∥BC,得BC⊥DS,又由CS⊥DS知DS⊥平面BCS,
從而DS為點(diǎn)A到平面BCS的距離,
因此在Rt△ADS中DS=
AS2-AD2
=
3-1
=
2


精英家教網(wǎng)(Ⅱ)如圖,過E電作EG⊥CD,交CD于點(diǎn)G,
又過G點(diǎn)作GH⊥CD,交AB于H,
故∠EGH為二面角E-CD-A的平面角,
記為θ,過E點(diǎn)作EF∥BC,交CS于點(diǎn)F,連接GF,
因平面ABCD⊥平面CSD,GH⊥CD,
易知GH⊥GF,故θ=
π
2
-∠EGF

由于E為BS邊中點(diǎn),故CF=
1
2
CS=1
,
在Rt△CFE中,EF=
CE2-CF2
=
2-1
=1
,
因EF⊥平面CSD,又EG⊥CD
故由三垂線定理的逆定理得FG⊥CD,
從而又可得△CGF~△CSD,
因此
GF
DS
=
CF
CD
而在Rt△CSD中,
CD=
CS2+SD2
=
4+2
=
6

故GF=
CF
CD
•DS=
1
6
2
=
1
3

在Rt△FEG中,tanEGF=
EF
FG
=
3

可得∠EGF=
π
3
,故所求二面角的大小為θ=
π
6
點(diǎn)評:本題主要考查了點(diǎn)到平面的距離,以及二面角的度量等有關(guān)知識,同時(shí)考查了計(jì)算能力、推理能力、以及轉(zhuǎn)化與劃歸的思想,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為正方形,側(cè)棱SD⊥底面ABCD,E、F分別是AB、SC的中點(diǎn)
(1)求證:EF∥平面SAD
(2)設(shè)SD=2CD,求二面角A-EF-D的大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐S-ABCD中,SA⊥底面ABCD,∠BAD=∠ABC=90°,SA=AB=AD=
1
3
BC=1
,E為SD的中點(diǎn).
(1)若F為底面BC邊上的一點(diǎn),且BF=
1
6
BC
,求證:EF∥平面SAB;
(2)底面BC邊上是否存在一點(diǎn)G,使得二面角S-DG-A的正切值為
2
?若存在,求出G點(diǎn)位置;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為正方形,側(cè)棱SD⊥底面ABCD,E,F(xiàn)分別為AB,SC的中點(diǎn).
(1)證明EF∥平面SAD;
(2)設(shè)SD=2DC,求二面角A-EF-D的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐S-ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD.底面ABCD為矩形,AD=
2
a,AB=
3
a
,SA=SD=a.
(Ⅰ)求證:CD⊥SA;
(Ⅱ)求二面角C-SA-D的大。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案