Question

已知存在實數(shù)ω，φ（其中ω≠0，ω∈Z）使得函數(shù)f（x）=2cos（ωx+φ）是奇函數(shù)，且在（0，

π

4

）上是增函數(shù)．
（1）試用觀察法猜出兩組ω與φ的值，并驗證其符合題意；
（2）求出所有符合題意的ω與φ的值．

Answer 1

分析：（1）由題意使得函數(shù)f（x）=2cos（ωx+φ）是奇函數(shù)，且在（0，

π

4

）上是增函數(shù)．猜想

ω=1 ?=- π 2

或

ω=-2 ?= π 2

；然后驗證即可．
（2）由f（x）為奇函數(shù)，解得?=kπ+

π

2

，k∈Z當(dāng)k=2n（n∈Z）時，f(x)=2cos(ωx+2nπ+

π

2

)=2sin(-ωx)為奇函數(shù)，由于f（x）在(0，

π

4

)上是增函數(shù)，所以ω＜0，推出ω=-1或-2，

ω=-1或-2 ?=2nπ+ π 2 ，n∈Z

． 當(dāng)k=2n+1（n∈Z）時，f(x)=2cos(ωx+2(n+1)π+

π

2

)=2sin(ωx)為奇函數(shù)，由于f（x）在(0，

π

4

)上是增函數(shù)，所以ω＞0，推出ω=1或2，故

ω=1或2 ?=2(n+1)π+ π 2 ，n∈Z

解答：解：（1）猜想：

ω=1 ?=- π 2

或

ω=-2 ?= π 2

；（4）分
由

ω=1 ?=- π 2

知f(x)=2cos(x-

π

2

)=2sinx，而f（x）=2sinx為奇函數(shù)且在(0，

π

4

)上是增函數(shù)． （6分）
由

ω=-2 ?= π 2

知f(x)=2cos(-2x+

π

2

)=2sin2x，而f（x）=2sin2x為奇函數(shù)且在(0，

π

4

)上是增函數(shù)． （8分）

（2）由f（x）為奇函數(shù)，有f（-x）=-f（x）
∴2cos（-ωx+φ）=-2cos（ωx+φ）
所以2cosωx•cosφ=0，
又x∈R，∴cosωφ≠0，∴cosφ=0，
解得?=kπ+

π

2

，k∈Z． （10分）
當(dāng)k=2n（n∈Z）時，f(x)=2cos(ωx+2nπ+

π

2

)=2sin(-ωx)為奇函數(shù)，
由于f（x）在(0，

π

4

)上是增函數(shù)，
所以ω＜0，由-

π

2

≤-ωx≤

π

2

?

π

2ω

≤x≤

-π

2ω

，
又f（x）在(0，

π

4

)上是增函數(shù)，故有(0，

π

4

)⊆[

π

2ω

，

-π

2ω

]，

π

4

≤

-π

2ω

，-2≤ω＜0，且ω=Z，
∴ω=-1或-2，故

ω=-1或-2 ?=2nπ+ π 2 ，n∈Z

． （12分）
當(dāng)k=2n+1（n∈Z）時，f(x)=2cos(ωx+2nπ+π+

π

2

)=-2sin(ωx)為奇函數(shù)，
由于f（x）在(0，

π

4

)上是增函數(shù)，
所以ω＞0，由-

π

2

≤ωx≤

π

2

?-

π

2ω

≤x≤

π

2ω

，
又f（x）在(0，

π

4

)上是增函數(shù)，故有(0，

π

4

)⊆[-

π

2ω

，

π

2ω

]，

π

4

≤

π

2ω

，0＜ω≤2，且ω=Z，
∴ω=1或2，故

ω=1或2 ?=(2n+1)π+ π 2 ，n∈Z

（14分）
所以所有符合題意的ω與φ的值為：

ω=-1或-2 ?=2nπ+ π 2 ，n∈Z

或

ω=1或2 ?=(2n+1)π+ π 2 ，n∈Z

（16分）

點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，邏輯推理能力，考查計算能力，有一定的難度．