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【題目】已知數列的各項均為正數,前項和為,首項為2.若對任意的正整數,恒成立.

(1)求,;

(2)求證:是等比數列;

(3)設數列滿足,若數列,,…,)為等差數列,求的最大值.

【答案】(1),,;(2)詳見解析;(33.

【解析】

(1)由題意利用賦值法,對m,n進行賦值,可得a2,a3,a4;

(2)取m=1,得,取m=2,得.兩式相除,得,(n∈N*).結合,可得{Sn+2}是首項為4,公比為2的等比數列,求得.進一步求得.利用定義證得{an}是等比數列;

(3)由(2)知,,設,,成等差數列,則.

得到,分t=r+1和t=r+2兩類分析得答案.

(1)由,對任意的正整數恒成立

,得,

,得.

,,得,

,,得,

解得,.

(2)取,得,

,得,

兩式相除,得,即,即 .

由于,所以對任意均成立,

所以是首項為4,公比為2的等比數列,

所以,即.

時,,

也符合上式,所以 .

因為(常數),所以是等比數列.

(3)由(2)知,.

,,成等差數列,則.

整理得,.

,則,

因為,所以只能為2或4,所以只能為1或2.

,則.

因為,故矛盾.

綜上,只能是,,,成等差數列或,成等差數列,其中為奇數.

所以的最大值為3.

練習冊系列答案
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A.三點,Nspan>在,點B.,不在上,,N

C.上,點,均不在D.上,,均不在

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