Question

(22)設(shè)函數(shù)f(x)=x²+bln(x+1)，其中b≠0.

(Ⅰ)當(dāng)b＞時(shí)，判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性；

(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；

(Ⅲ)證明對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln(+1)＞都成立.

Answer 1

解：(Ⅰ)由題意知，f(x)的定義域?yàn)?-1，+∞)，f′(x)=2x+

設(shè)g(x)=2x²+2x+b，其圖象的對(duì)稱軸為x=∈(-1，+∞)，

∴g(x)_min=g()=+b.

當(dāng)b＞時(shí)，g(x)_min=+b＞0，

即  g(x)=2x²+2x+b＞0在(-1，+∞)上恒成立.

∴當(dāng)x∈(-1，+∞)時(shí)，f′(x)＞0.

∴當(dāng)b＞時(shí)，函數(shù)f(x)在定義域(-1，+∞)上單調(diào)遞增.

(Ⅱ)①由(Ⅰ)得，當(dāng)b＞時(shí)，函數(shù)f(x)無極值點(diǎn).

②b=時(shí)，f′(x)==0有兩個(gè)相同的解x=，

∵x∈(-1，)時(shí)，f′(x)＞0，

x∈(，+∞)時(shí)，f′(x)＞0，

∴b=時(shí)，函數(shù)f(x)在(-1，+∞)上無極值點(diǎn).

③當(dāng)b＜時(shí)，f′(x)=0有兩個(gè)不同解，x₁=，x₂=，

∵b＜0時(shí)，x₁=＜-1，x₂=＞-1，

即x₁(-1，+∞)，x₂∈(-1，+∞)，

∴b＜0時(shí)，f′(x)、f(x)隨x的變化情況如下表：

x	(-1，x2)	x2	(x2，+∞)
f′(x)	-	0	+
f(x)	↘	極小值	↗

由此表可知：b＜0時(shí)，f(x)有惟一極小值點(diǎn)x₂=；

當(dāng)0＜b＜時(shí)，x₁=＞-1.

∴x₁，x₂∈(-1，+∞)，

此時(shí)，f′(x)、f(x)隨x的變化情況如下表：

x	(-1，x1)	x1	(x1，x2)	x2	(x1，+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

由此表可知：0＜b＜時(shí)，f(x)有一個(gè)極大值點(diǎn)x₁=和一個(gè)極小值點(diǎn)x₂=，

綜上所述，b＜0時(shí)，f(x)有惟一極小值點(diǎn)x=，

0＜b＜時(shí)，f(x)有一個(gè)極大值點(diǎn)x=和一個(gè)極小值點(diǎn)x=；

b≥時(shí)，f(x)無極值點(diǎn).

(Ⅲ)當(dāng)b=-1時(shí)，函數(shù)f(x)=x²-ln(x+1)，

令函數(shù)h(x)=x³-f(x)=x³-x²+ln(x+1)，

則h(x)=3x²-2x+.

∴當(dāng)x∈[0，+∞)時(shí)，h′(x)＞0，所以函數(shù)h(x)在[0，+∞)上音調(diào)遞增，

又h(0)=0，

∴x∈(0，+∞)時(shí)，恒有h(x)＞h(0)=0，即x³＞x²-ln(x+1)恒成立，

故當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，有l(wèi)n(x+1) ＞x²-x³.

對(duì)任意正整數(shù)n，取x=∈(0，+∞)，則有l(wèi)n (+1)＞，

所以結(jié)論成立.