【題目】已知函數(shù)f(x)=(a﹣ )x2+lnx(a為實數(shù)).
(1)當(dāng)a=0時,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[ ,e]上的最大值和最小值;
(2)若對任意的x∈(1,+∞),g(x)=f(x)﹣2ax<0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:當(dāng)a=0時,函數(shù)f(x)=﹣ ,(x>0)

f′(x)=﹣x+ = ,(x>0),令f′(x)=0,得x=1,(負值舍去)

∴x>0,x、f′(x),f(x)的變化如下:

x

,1)

1

(1,e)

f′(x)

+

0

f(x)

極大值

∴f(x)在( ,1)上單調(diào)遞增,在(1,e)上單調(diào)遞減,

f(x)最大值為f(1)=

,∴f(x)最小值為f(e)=1﹣


(2)解:g(x)=f(x)﹣2ax=(a﹣ )x2+lnx﹣2ax,g(x)的定義域為(0,+∞),

①若a ,令g′(x)=0,得極值x1=1,x2=

當(dāng)x1<x2,即 時,在(0,1)上有g(shù)′(x)>0,

在(1,x2)上有g(shù)′(x)<0,

在(x2,+∞)上有g(shù)′(x)>0,此時g(x)在區(qū)間(x2,+∞)上是增函數(shù),

并且在該區(qū)間上有g(shù)(x)∈(g(x2),+∞)不合題意;

當(dāng)x2≤x1,即a≥1時,同理可知,g(x)在區(qū)間(1,+∞)上,

有g(shù)(x)∈(g(1),+∞),也不合題意;

②若a≤ ,則有x1>x2,此時在區(qū)間(1,+∞)上恒有g(shù)′(x)<0,

從而g(x)在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù);

要使g(x)<0在此區(qū)間上恒成立,只須滿足g(1)=﹣a﹣ ≤0,得a≥﹣

由此求得a的范圍是[﹣ , ]

綜合①②可知實數(shù)a的取值范圍是[﹣ ]


【解析】(1)求出導(dǎo)數(shù),由此能求出f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞))上單調(diào)遞減.f(x)在( ,1)上單調(diào)遞增,在(1,e)上單調(diào)遞減,由此能求出f(x)在區(qū)間[ ,e]上的最大值和最小值.(2)求出函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù),討論①若a ,②若a≤ ,求得單調(diào)區(qū)間,可得g(x)的范圍,由恒成立思想,進而得到a的范圍.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

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