如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)與拋物線E：y2=4x有一個公共的焦點F，且兩曲線在第一象限的交點P的橫坐標為
2
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=kx與拋物線E的交點為O，Q，與橢圓c的交點為M，N（N在線段OQ上），且|MO|=|NQ|． 問滿足條件的直線l有幾條，說明理由．
分析：（1）確定橢圓的焦點坐標，點P的坐標，利用點P在橢圓C上，求得a的值，根據(jù)c=1，b=
a2-c2
，即可求得橢圓C的方程；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，可求M的坐標，聯(lián)立直線與拋物線，可求Q的坐標，根據(jù)|MO|=|NQ|，可得N為線段OQ的中點，從而可建立方程，由此可得結論．
解答：解：（1）∵拋物線E：y2=4x的焦點F（1，0），∴橢圓的焦點坐標為（±1，0）．
由點P在拋物線y2=4x上，所以P（
2
3
，
2
6
3
）．
又點P在橢圓C上，所以2a=4，所以a=2，
又c=1，故b=
a2-c2
=
3
，從而橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1     （5分）
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得
y=kx
x2
4
+
y2
3
=1 
，消去y可得3x2+4k2x2=12，∴x=±2
3
3+4k2
．（7分）
聯(lián)立直線與拋物線得
y=kx
y2=4x
，消去y可得k2x2=4x，解得x=0或x=
4
k2
        （9分）
∵|MO|=|NQ|，∴N為線段OQ的中點，∴4
3
3+4k2
=
4
k2
，
化簡得3k4-4k2-3=0，解得k2=
2+
13
3
（負值舍去），故滿足題意的k值有2個．
從而存在過原點O的兩條直線l滿足題意．（12分）
點評：本題考查拋物線的幾何性質，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓、拋物線的位置關系，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點和上頂點分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比．
（1）已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1和C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判斷C2與C1是否相似，如果相似則求出C2與C1的相似比，若不相似請說明理由；
（2）已知直線l：y=x+1，在橢圓Cb上是否存在兩點M、N關于直線l對稱，若存在，則求出函數(shù)f（b）=|MN|的解析式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
，過橢圓C上一點P（2，1）作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓交于點A、B，直線AB與x軸交于點M，與y軸負半軸交于點N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直線AB的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
36
+
y2
20
=1的左頂點，右焦點分別為A，F(xiàn)，右準線為l，N為l上一點，且在x軸上方，AN與橢圓交于點M．
（1）若AM=MN，求證：AM⊥MF；
（2）過A，F(xiàn)，N三點的圓與y軸交于P，Q兩點，求PQ的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設圓T與橢圓C交于點M與點N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求
TM
•
TN
的最小值，并求此時圓T的方程；
（3）設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點，求證：|OR|•|OS|為定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左頂點，右焦點分別為A、F，右準線為m．圓D：x2+y2+x-3y-2=0．
（1）若圓D過A、F兩點，求橢圓C的方程；
（2）若直線m上不存在點Q，使△AFQ為等腰三角形，求橢圓離心率的取值范圍．
（3）在（1）的條件下，若直線m與x軸的交點為K，將直線l繞K順時針旋轉
π
4
得直線l，動點P在直線l上，過P作圓D的兩條切線，切點分別為M、N，求弦長MN的最小值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案