Question

下面四個(gè)圖案，都是由小正三角形構(gòu)成，設(shè)第個(gè)圖形中有個(gè)正三角形中所有小正三角形邊上黑點(diǎn)的總數(shù)為.

圖1         圖2            圖3                 圖4
（Ⅰ）求出,,,;
（Ⅱ）找出與的關(guān)系，并求出的表達(dá)式；
（Ⅲ）求證：().

Answer 1

（Ⅰ）12,27,48,75. （Ⅱ）， ．（Ⅲ）詳見(jiàn)解析．

試題分析：（Ⅰ）求出,,,，第二個(gè)圖形的黑點(diǎn)個(gè)數(shù)為第一個(gè)圖形的黑點(diǎn)個(gè)數(shù)加上外面的三角形上的黑點(diǎn)個(gè)數(shù)，即，第三個(gè)圖形的黑點(diǎn)個(gè)數(shù)為第二個(gè)圖形的黑點(diǎn)個(gè)數(shù)加上外面的三角形上的黑點(diǎn)個(gè)數(shù)，即，以此類推可求出,；（Ⅱ）觀察,,,可得到，后一個(gè)圖形的黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是前一個(gè)圖形外多加一個(gè)三角形，而且每一條邊都比內(nèi)一個(gè)三角形多兩個(gè)黑點(diǎn)，即，即，求出的表達(dá)式，像這種關(guān)系可用疊加法，即寫出，
，，，，把這個(gè)式子疊加，即可得出的表達(dá)式；（Ⅲ）求證：()， 先求出的關(guān)系式，得，由于求證的不等式右邊是常數(shù)，可考慮利用放縮法，即，這樣既可證明．
試題解析：（Ⅰ）由題意有，，  ， ，
，．
（Ⅱ）由題意及（Ⅰ）知，，
即，所以，，，，          5分
將上面個(gè)式子相加，得：
                 6分
又，所以．                    7分
（Ⅲ），∴．  9分
當(dāng)時(shí)，，原不等式成立．        10分
當(dāng)時(shí)，，原不等式成立．   11分
當(dāng)時(shí)，



， 原不等式成立．                 13分
綜上所述，對(duì)于任意，原不等式成立．         14分