Question

【題目】已知二次函數(shù)，關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式的解集為．

（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式：；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的函數(shù)（）的最小值為？若存在，求實(shí)數(shù)的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為．（2）

【解析】

試題分析：（1）由二次不等式解集與二次方程根的關(guān)系得：的兩根為和，且，從而，解得，再化簡(jiǎn)不等式，因式分解：，最后根據(jù)兩根2與大小關(guān)系，分三種情況討論不等式解集（2）先化簡(jiǎn)函數(shù)，為一元二次函數(shù)，其中，再根據(jù)對(duì)稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系研究函數(shù)最小值：因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，取最小值

試題解析：（1）由不等式的解集為知，關(guān)于的方程的兩根為和，且，

由根與系數(shù)關(guān)系，得∴

所以原不等式化為，

①當(dāng)時(shí)，原不等式化為，且，解得或；

②當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得且；

③當(dāng)時(shí)，原不等式化為，且，解得或；

綜上所述：

當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；

當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為．

（2）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)，

由（1）得：，，

．

令（），則，（），

對(duì)稱軸，

因?yàn)?/span>，所以，，

所以函數(shù)在單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，解得．