已知函數f(x)=lnx-mx(mR).
(1)若曲線y=f(x)過點P(1,-1),求曲線y=f(x)在點P處的切線方程;
(2)求函數f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值;
(3)若函數f(x)有兩個不同的零點x1,x2,求證:x1x2>e2.
(1);(2)①當時,;②當時,
③當時,;(3)詳見解析.
解析試題分析:(1)根據題意首先由點在曲線上,運用待定系數的方法求出,再由切線與導數的關系即可求出切線方程為;(2)對函數求導可得:,分析m對導數的影響,可見要進行分類討論:①當時,,所以函數在上單調遞增,利用單調性可求出最大值;②當,即時,,所以函數在上單調遞增,利用單調性可求出最大值;③當,即時,導數有下有負,列表可求出函數的最大值;④當,即時,,所以函數在上單調遞減,利用單調性可求出最大值;(3)顯然兩零點均為正數,故不妨設,由零點的定義可得:,即,觀察此兩式的結構特征可相加也可相減化簡得:,現在我們要證明,即證明,也就是.又因為,所以即證明,即.由它的結構可令=t,則,于是.構造一新函數,將問題轉化為求此函數的最小值大于零,即可得證.
試題解析:(1)因為點在曲線上,所以,解得.
因為,所以切線的斜率為0,所以切線方程為. 3分
(2)因為.
①當時,,所以函數在上單調遞增,則.
②當,即時,,所以函數在上單調遞增,則 5分
③當,即時,函數在上單調遞增,在上單調遞減,
則. 7分
④當,即時,,所以函數在上單調遞減,則 9分
綜上,①當時,
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知函數在時取得極小值.
(1)求實數的值;
(2)是否存在區(qū)間,使得在該區(qū)間上的值域為?若存在,求出,的值;
若不存在,說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知函數,滿足,且,為自然對數的底數.
(1)已知,求在處的切線方程;
(2)若存在,使得成立,求的取值范圍;
(3)設函數,為坐標原點,若對于在時的圖象上的任一點,在曲線上總存在一點,使得,且的中點在軸上,求的取值范圍.
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