Question

已知函數(shù)，．
（1）若函數(shù)的圖象在處的切線與軸平行，求的值；
（2）若，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力，考查學(xué)生的分類討論思想、函數(shù)思想.第一問，對求導(dǎo)，將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入得到切線的斜率，由于與x軸平行，所以斜率為0，解出a的值；第二問，由于，恒成立，轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，，所以本問的主要任務(wù)是求的最小值，對求導(dǎo)，由于的正負(fù)的判斷不容易，所以進(jìn)行二次求導(dǎo)進(jìn)行最值、單調(diào)性的判斷.
試題解析：（1）                                       2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/bd/6/so4zr.png" style="vertical-align:middle;" />在處切線與軸平行，即在切線斜率為即，∴．                           5分
（2），令，則，
所以在內(nèi)單調(diào)遞增，
（i）當(dāng)即時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞增，要想只需要，解得，從而                            8分
（ii）當(dāng)即時(shí)，由在內(nèi)單調(diào)遞增知，
存在唯一使得，有，令解
得，令解得，從而對于在處取最小值，
，又
，從而應(yīng)有，即
，解得，由可得，有，綜上所述，．             12分
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問題.