Question

設A（x₁，x₂）、B（x₂，y₂）是拋物線x²=4y上不同的兩點，且該拋物線在點A、B處的兩條切線相交于點C，并且滿足．
（1）求證：x_1•x₂=-4；
（2）判斷拋物線x²=4y的準線與經過A、B、C三點的圓的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出拋物線方程的導函數，進而設出點A、B處的切線的斜率；再利用得到，即可得到關于點A、B橫坐標之間的等量關系，即可證明結論．
（2）先利用得經過A、B、C三點的圓的圓心為線段AB的中點D，利用中點坐標公式求出點D；再利用兩點間的距離公式求出圓的半徑的表達式，整理即可得到拋物線x²=4y的準線與經過A、B、C三點的圓的位置關系．
解答：證明：（1）由x²=4y得，則，
∴拋物線x²=4y在點A（x₁，x₂）、B（x₂，y₂）處的切線的斜率分別為，…（2分）
∵，∴，…（4分）
∴拋物線x²=4y在點A（x₁，x₂）、B（x₂，y₂）處兩切線互相垂直，
∴，
∴x_1•x₂=-4．…（6分）
解：（2）∵，
∴，
∴經過A、B、C三點的圓的圓心為線段AB的中點D，
圓心D，…（8分）
∵拋物線x²=4y的準線方程為y=-1，
∴點D到直線
y=-1的距離為，…（10分）
∵經過A、B、C三點的圓的半徑，
由于x₁²=4y₁，x₂²=4y₂，且x_1•x₂=-4，則，
∴
=
=
=
=，…（12分）
∴d=r，
∴拋物線x²=4y準線與經過A、B、C三點的圓相切．…（14分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題，做這一類型題目的關鍵是看清題中給出的條件，靈活運用中點坐標公式以及點到直線的距離公式，拋圓錐曲線的定義進行求解．