Question

（2013•寶山區(qū)一模）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是平面直角坐標(biāo)系上的兩點(diǎn)，定義點(diǎn)A到點(diǎn)B的曼哈頓距離L（A，B）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．若點(diǎn)A（-1，1），B在y²=x上，則L（A，B）的最小值為

7

4

．

Answer 1

分析：分析可知，使L（A，B）取最小值的點(diǎn)應(yīng)在原點(diǎn)或第一象限，設(shè)出拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，然后寫出L（A，B）=|y02+1|+|y₀-1|．分類討論點(diǎn)B的縱坐標(biāo)后可求得L（A，B）的最小值．

解答：解：如圖，

因?yàn)锳在第二象限，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，要使拋物線上的點(diǎn)B與A點(diǎn)的曼哈頓距離最小，則B在第一象限（或原點(diǎn)）．
設(shè)B（y02，y0），
則L（A，B）=|y02+1|+|y₀-1|
當(dāng)0≤y₀≤1時(shí)，
L（A，B）=y02+1+1-y0
=y02-y0+2
=(y0-

1

2

)2+

7

4

，
所以，當(dāng)y0=

1

2

時(shí)，L（A，B）有最小值

7

4

．
當(dāng)y₀＞1時(shí)，
L（A，B）=y02+1+y0-1
=y02+y0
=(y0+

1

2

)2-

1

4

＞(1+

1

2

)2-

1

4

=2．
綜上，L（A，B）的最小值為

7

4

．
故答案為

7

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義下的兩點(diǎn)間的距離公式，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想和分類討論思想，解答的關(guān)鍵是設(shè)出B點(diǎn)的坐標(biāo)，此題是中檔題．