【題目】已知分別是橢圓的左、右焦點, 是橢圓上一點,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓交于兩點,且,試求點到直線的距離.
【答案】(1) ;(2) 原點到直線的距離.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)等式關(guān)系可得,求出c值,然后結(jié)合橢圓定義和已知等式關(guān)系聯(lián)立方程即可得a,進(jìn)而求出標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)先驗證斜率不存在時情況,然后再討論斜率存在時,由得: ,故設(shè),得,連立方程得出韋達(dá)定理代入等式得k,n的關(guān)系,在計算距離即可得出結(jié)論.
解析:(Ⅰ)由得: ,化簡得: ,
解得: 或
因為,所以,
因為
所以,則,又,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為: ;
(Ⅱ)由題意可知,直線不過原點,設(shè),
①直線軸,直線的方程且,
則
由得: ,
即,解得: ,
故直線的方程為,∴原點到直線的距離,
②當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為,
則,消去整理得: ,
, ,
則=
由得,
故+,
整理得: ,
即 ①
原點到直線的距離, ②
將①代入②,則,∴,
綜上可知:原點到直線的距離.
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【題目】已知梯形如圖(1)所示,其中, ,四邊形是邊長為的正方形,現(xiàn)沿進(jìn)行折疊,使得平面平面,得到如圖(2)所示的幾何體.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)已知點在線段上,且平面,求與平面所成角的正弦值.
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【題目】已知橢圓: 的一個焦點與拋物線的焦點重合,且過點.過點的直線交橢圓于, 兩點, 為橢圓的左頂點.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)求面積的最大值,并求此時直線的方程.
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若的圖象與軸交于兩點,起,求的取值范圍;
(3)令, ,證明: .
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【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線: (為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點的極坐標(biāo)為,直線與曲線的交點為, ,求的值.
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【題目】已知函數(shù)(其中是自然對數(shù)的底數(shù))
(1)若,當(dāng)時,試比較與2的大小;
(2)若函數(shù)有兩個極值點,求的取值范圍,并證明:
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【題目】已知四棱錐,底面為菱形,,為上的點,過的平面分別交,于點,,且平面.
(1)證明:;
(2)當(dāng)為的中點,,與平面所成的角為,求二面角的余弦值.
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【題目】經(jīng)過中央電視臺《魅力中國城》欄目的三輪角逐,黔東南州以三輪競演總分排名第一名問鼎“最具人氣魅力城市”.如圖統(tǒng)計了黔東南州從2010年到2017年的旅游總?cè)藬?shù)(萬人次)的變化情況,從一個側(cè)面展示了大美黔東南的魅力所在.根據(jù)這個圖表,在下列給出的黔東南州從2010年到2017年的旅游總?cè)藬?shù)的四個判斷中,錯誤的是( )
A. 旅游總?cè)藬?shù)逐年增加
B. 2017年旅游總?cè)藬?shù)超過2015、2016兩年的旅游總?cè)藬?shù)的和
C. 年份數(shù)與旅游總?cè)藬?shù)成正相關(guān)
D. 從2014年起旅游總?cè)藬?shù)增長加快
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