【題目】如圖,某旅游區(qū)擬建一主題游樂園,該游樂區(qū)為五邊形區(qū)域ABCDE,其中三角形區(qū)域ABE為主題游樂區(qū),四邊形區(qū)域為BCDE為休閑游樂區(qū),AB、BC,CD,DE,EA,BE為游樂園的主要道路(不考慮寬度).∠BCD=∠CDE=120°,∠BAE=60°,DE=3BC=3CD=3km.

(1)求道路BE的長度;
(2)求道路AB,AE長度之和的最大值.

【答案】
(1)解:如圖,連接BD,

在△BCD中,由余弦定理可得:BD2=BD2+CD2﹣2BCCDcos∠BCD=1+1﹣2×1×1×(﹣ )=3,

∴BD= ,

∵BC=CD,

∴∠CDB=∠CBD= =30°,

又∵∠CDE=120°,

∴∠BDE=90°,

∴在Rt△BDE中,BE= = =2


(2)解:設(shè)∠ABE=α,∵∠BAE=60°,∴∠AEB=120°﹣α,

在△ABE中,由正弦定理,可得: ,

=4,

∴AB=4sin(120°﹣α),AE=4sinα,

∴AB+AE=4sin(120°﹣α)+4sinα

=4( )+4sinα

=2 cosα+6sinα

=4 sin(α+30°),

∵0°<α<120°,

∴30°<α+30°<150°,

∴當(dāng)α+30°=90°,即α=60°時,AB+AE取得最大值4 km,即道路AB,AE長度之和的最大值為4 km


【解析】(1)連接BD,由余弦定理可得BD,由已知可求∠CDB=∠CBD=30°,∠CDE=120°,可得∠BDE=90°,利用勾股定理即可得解BE的值.(2)設(shè)∠ABE=α,由正弦定理,可得AB=4sin(120°﹣α),AE=4sinα,利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得AB+AE=4 sin(α+30°),結(jié)合范圍30°<α+30°<150°,利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求
AB+AE的最大值,從而得解.
【考點精析】利用正弦定理的定義和余弦定理的定義對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知正弦定理:;余弦定理:;;

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【題目】一種設(shè)備的單價為,設(shè)備維修和消耗費用第一年為,以后每年增加是常數(shù).用表示設(shè)備使用的年數(shù),記設(shè)備年平均費用為, (設(shè)備單價設(shè)備維修和消耗費用)設(shè)備使用的年數(shù).

(Ⅰ)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;

(Ⅱ)當(dāng) ,求這種設(shè)備的最佳更新年限.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓的離心率為,過橢圓右焦點作兩條互相垂直的弦.當(dāng)直線斜率為0時,

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2)求的取值范圍.

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A.x1<x2<x3
B.x2<x1<x3
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【題目】已知函數(shù)f(x)= sin(ωx﹣ )+b(ω>0),且函數(shù)圖象的對稱中心到對稱軸的最小距離為 ,當(dāng)x∈[0, ]時,f(x)的最大值為1.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移 個單位長度得到函數(shù)g(x)圖象,若g(x)﹣3≤m≤g(x)+3在x∈[0, ]上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,點M,N分別為線段A1B,B1C的中點.

(1)求證:MN∥平面AA1C1C;

(2)若∠ABC=90°,AB=BC=2,AA1=3,求點B1到面A1BC的距離.

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【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊是a,b,c,已知2b﹣c=2acosC.
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(2)若4(b+c)=3bc,a=2 ,求△ABC的面積S.

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(1)求sinA的值;
(2)若a=1,求△ABC的周長l的取值范圍.

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【題目】已知△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,cos A=,sin B=cos C.

(1)tan C的值;

(2)a=,求△ABC的面積.

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