(本小題滿分12分)
如圖所示,在正方體中,E是棱的中點.

(Ⅰ)求直線BE與平面所成的角的正弦值;
(Ⅱ)在棱上是否存在一點F,使平面?證明你的結(jié)論.

解法1:設(shè)正方體的棱長為1.如圖所示,以為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系.
(Ⅰ)依題意,
,
所以.
在正方體中,因為,所以是平面的一個法向量,設(shè)直線BE和平面所成的角為,則
.
即直線BE和平面所成的角的正弦值為.

設(shè)F是棱上的點,則.又,所以
.而,于是
的中點,這說明在棱上存在點F(的中點),使.
解法2:(Ⅰ)如圖(a)所示,取的中點M,連結(jié)EM,BM.因為E是的中點,四邊形為正方形,所以EM∥AD.

即直線BE和平面所成的角的正弦值為.

(Ⅱ)在棱上存在點F,使.
事實上,如圖(b)所示,分別取和CD的中點F,G,連結(jié).因,且,所以四邊形是平行四邊形,因此.又E,G分別為,CD的中點,所以,從而.這說明,B,G,E共面,所以.
因四邊形皆為正方形,F(xiàn),G分別為和CD的中點,所以
,且,因此四邊形是平行四邊形,所以.而,,故.
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第Ⅱ卷

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(1)求證:平面;
(2)求證:平面平面
(3)求直線與平面所成角的正弦值.

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