Question

【題目】已知f（x）是定義在（﹣1，1）上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1）時f（x）=lg ，
（1）求f（x）的解析式；
（2）探求f（x）的單調(diào)區(qū)間，并證明f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)x∈（﹣1，0），則﹣x∈（0，1），

∴f（﹣x）=lg ，

∵f（x）是定義在（﹣1，1）上的偶函數(shù)，

∴f（x）=f（﹣x）=lg ，

綜上可得：f（x）=

（2）解：f（x）在[0，1）上單調(diào)遞減，在（﹣1，0）單調(diào)遞增．證明如下：

∵f′（x）= ，

當(dāng)x∈（﹣1，0）時，f′（x）＞0恒成立，

當(dāng)x∈[0，1），f′（x）＜0恒成立，

故f（x）在[0，1）上單調(diào)遞減，在（﹣1，0）單調(diào)遞增

【解析】（1）根據(jù)f（x）是定義在（﹣1，1）上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1）時f（x）=lg ，求出x∈（﹣1，0）時函數(shù)的解析式，綜合可得答案；（2）f（x）在[0，1）上單調(diào)遞減，在（﹣1，0）單調(diào)遞增，利用導(dǎo)數(shù)法可證得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了奇偶性與單調(diào)性的綜合和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．