【題目】已知函數(shù) ,x∈[3,5].
(1)利用定義證明函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;
(2)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值.
【答案】
(1)證明:令3≤x1<x2≤5,
則f(x1)﹣f(x2)=1﹣ ﹣(1﹣ )
=﹣3( ﹣ )=﹣3 ,
∵3≤x1<x2≤5,∴x2﹣x1>0,(x1+2)(x2+2)>0,
∴f(x1)<f(x2),
故f(x)在[3,5]遞增
(2)解:由f(x)在[3,5]遞增,
可得f(3)取得最小值1﹣ = ;
f(5)取得最大值1﹣ =
【解析】(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性,注意取值、作差、變形和定符號和下結(jié)論;(2)運用函數(shù)的單調(diào)性,從而求出函數(shù)的最值.
【考點精析】利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的最值及其幾何意義對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大小;③作差比較或作商比較;利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值;利用圖象求函數(shù)的最大(小)值;利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲担
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對邊分別是a、b、c,已知B=60°,
(1)若b= ,A=45°,求a;
(2)若a、b、c成等比數(shù)列,請判斷△ABC的形狀.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列命題中所有正確的序號是 .
①函數(shù)f(x)=ax﹣1+3(a>0且a≠1)的圖象一定過定點P(1,4);
②函數(shù)f(x﹣1)的定義域是(1,3),則函數(shù)f(x)的定義域為(2,4);
③已知f(x)=x5+ax3+bx﹣8,且f(﹣2)=8,則f(2)=﹣8;
④f(x)= 為奇函數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在(﹣1,1)上的偶函數(shù),當x∈[0,1)時f(x)=lg ,
(1)求f(x)的解析式;
(2)探求f(x)的單調(diào)區(qū)間,并證明f(x)的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2﹣2ax+b+1(a>0)在區(qū)間[2,3]上有最大值4,最小值1.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)設(shè)g(x)= .若不等式g(2x)﹣k2x≥0對任意x∈[1,2]恒成立,求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“累積凈化量”是空氣凈化器質(zhì)量的一個重要衡量指標,它是指空氣凈化從開始使用到凈化效率為50%時對顆粒物的累積凈化量,以克表示,根據(jù)《空氣凈化器》國家標準,對空氣凈化器的累計凈化量有如下等級劃分:
累積凈化量(克) | 12以上 | |||
等級 |
為了了解一批空氣凈化器(共5000臺)的質(zhì)量,隨機抽取臺機器作為樣本進行估計,已知這臺機器的累積凈化量都分布在區(qū)間中,按照、、、、均勻分組,其中累積凈化量在的所有數(shù)據(jù)有:4.5,4.6,5.2,5.3,5.7和5.9,并繪制了頻率分布直方圖,如圖所示:
(1)求的值及頻率分布直方圖中的值;
(2)以樣本估計總體,試估計這批空氣凈化器(共5000臺)中等級為的空氣凈化器有多少臺?
(3)從累積凈化量在的樣本中隨機抽取2臺,求恰好有1臺等級為的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊,且2asinA=(2b﹣c)sinB+(2c﹣b)sinC.
(Ⅰ)求角A的大。
(Ⅱ)若sinB+sinC= ,試判斷△ABC的形狀.
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