Question

如圖2-3-25,在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,E、F分別是棱AB、BC的中點(diǎn),若點(diǎn)M為棱B₁B上的一點(diǎn),當(dāng)的值為多少時(shí),能使D₁M⊥平面EFB₁？并給出證明.

圖2-3-25

Answer 1

思路解析:由于E、F為中點(diǎn),所以猜想M也是中點(diǎn).

答案:當(dāng)=1時(shí),能使D₁M⊥平面EFB₁,證明如下:

當(dāng)M為B₁B中點(diǎn)時(shí),在平面AA₁B₁B內(nèi)有△A₁MB₁≌△B₁EB,

∴∠B₁A₁M=∠BB₁E.而∠B₁MA₁+∠B₁A₁M=90°,

∴∠B₁MA₁+∠BB₁E=90°.∴A₁M⊥B₁E.

∵D₁A₁⊥平面AA₁B₁B,B₁E平面AA₁B₁B,

∴D₁A₁⊥B₁E.由于A₁M∩D₁A₁=A₁,

∴B₁E⊥平面A₁MD₁.∵D₁M平面A₁MD₁,

∴B₁E⊥D₁M.同理,連結(jié)C₁M,可證明B₁F⊥D₁M.

∵B₁E∩B₁F=B₁,∴D₁M⊥平面EFB₁.

  綠色通道:

(1)猜想要和題目中的點(diǎn)的性質(zhì)相聯(lián)系,見中點(diǎn)找中點(diǎn)是常見的解題策略.

(2)平面內(nèi)證兩線垂直的方法還可通過三角形中某兩個(gè)角的和為直角來判斷.