Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD．

（1）求證：AB⊥PD；
（2）若∠BPC=90°，PB= ，PC=2，問AB為何值時，四棱錐P﹣ABCD的體積最大？并求此時平面BPC與平面DPC夾角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在四棱錐P﹣ABCD中，ABCD為矩形，∴AB⊥AD，

又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD

（2）解：過P做PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，

作OM⊥BC，連接PM

∴PM⊥BC，

∵∠BPC=90°，PB= ，PC=2，

∴BC= ，PM= = = ，BM= = ，

設(shè)AB=x，∴OM=x∴PO= ，

∴VP﹣ABCD= ×x× × = = ，

當 ，即x= ，VP﹣ABCD= ，

建立空間直角坐標系O﹣AMP，如圖所示，

則P（0，0， ），D（﹣ ，0，0），C（﹣ ， ，0），M（0， ，0），B（ ， ，0）

面PBC的法向量為 =（0，1，1），面DPC的法向量為 =（1，0，﹣2）

∴cosθ= =﹣ =﹣ ．由圖可知二面角為銳角，即cos

【解析】（1）要證AD⊥PD，可以證明AB⊥面PAD，再利用面面垂直以及線面垂直的性質(zhì)，即可證明AB⊥PD．（2）過P做PO⊥AD得到PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，連接PM，由邊長關(guān)系得到BC= ，PM= ，設(shè)AB=x，則VP﹣ABCD= ，故當 時，VP﹣ABCD取最大值，建立空間直角坐標系O﹣AMP，利用向量方法即可得到夾角的余弦值．