Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動點滿足，設(shè)動點的軌跡為曲線．

（1）求動點的軌跡方程，并說明曲線是什么圖形；

（2）過點的直線與曲線交于兩點，若，求直線的方程；

（3）設(shè)是直線上的點，過點作曲線的切線，切點為，設(shè)，求證：過三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）動點的軌跡方程為，曲線是以為圓心，2為半徑的圓（2）的方程為或.（3）證明見解析，所有定點的坐標(biāo)為，

【解析】

（1）利用兩點間的距離公式并結(jié)合條件，化簡得出曲線的方程，根據(jù)曲線方程的表示形式確定曲線的形狀；

（2）根據(jù)幾何法計算出圓心到直線的距離，對直線分兩種情況討論，一是斜率不存在，一是斜率存在，結(jié)合圓心到直線的距離求出直線的斜率，于此得出直線的方程；

（3）設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，從而可得出過、、三點的圓的方程，整理得出，然后利用

，解出方程組可得出所過定點的坐標(biāo).

（1）由題意得，化簡可得：，

所以動點的軌跡方程為.

曲線是以為圓心，為半徑的圓；

（2）①當(dāng)直線斜率不存在時，，不成立；

②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，即，

圓心到的距離為 ∵

∴, 即，解得或，

∴的方程為或；

（3）證明：∵在直線上，則設(shè)

∵為曲線的圓心，由圓的切線的性質(zhì)可得，

∴經(jīng)過的三點的圓是以為直徑的圓，

則方程為，

整理可得,

令，且,

解得或

則有經(jīng)過三點的圓必過定點，所有定點的坐標(biāo)為，.