Question

如圖，四面體ABCD中，O．E分別為BD．BC的中點(diǎn)，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求 異面直線AB與CD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）如圖所示，要證AO⊥平面BCD，只需證AO⊥BD，AO⊥CO即可，用運(yùn)算的方式來(lái)證明結(jié)論．
（2）取AC中點(diǎn)F，連接OF．OE．EF，由中位線定理可得EF∥AB，OE∥CD所以∠OEF（或其補(bǔ)角）是異面直線AB與CD所成角，然后在Rt△AOC中求解．

解答：解：（1）證明：△ABD中
∵AB=AD=

2

，O是BD中點(diǎn)，BD=2
∴AO⊥BD且AO=

AB2-BO2

=1
△BCD中，連接OC∵BC=DC=2
∴CO⊥BD且CO=

BC2-BO2

=

3

△AOC中AO=1，CO=

3

，AC=2
∴AO²+CO²=AC²故AO⊥CO
∴AO⊥平面BCD

（2）取AC中點(diǎn)F，連接OF．OE．EF
△ABC中E．F分別為BC．AC中點(diǎn)
∴EF∥AB，且EF=

1

2

AB=

2

2

△BCD中O．E分別為BD．BC中點(diǎn)
∴OE∥CD且OE=

1

2

CD=1
∴異面直線AB與CD所成角等于∠OEF（或其補(bǔ)角）
又OF是Rt△AOC斜邊上的中線∴OF=

1

2

AC=1
∴等腰△OEF中cos∠OEF=

1 2 EF

OE

=

2

4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線線，線面，面面垂直的轉(zhuǎn)化及異面直線所成角的求法，同時(shí)，考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，是常考類型，屬中檔題．