如圖,四面體ABCD的各個面都是直角三角形,已知AB⊥BC,BC⊥CD,AB=a,BC=a,CD=c.
(1)若AC⊥CD,求證:AB⊥BD;
(2)求四面體ABCD的表面積.
分析:(1)由題意可得:CD⊥平面ABC,再根據(jù)面面垂直的判斷定理可得:平面ABC⊥平面BCD,進而得到線面垂直得到線線垂直.
(2)此題分情況討論:當(dāng)AC⊥CD時,則AB⊥BD,進而得到四面體ABCD的表面積.當(dāng)AC與CD不垂直時,則AD⊥CD,當(dāng)AD⊥AC時,再討論AB與AD不能垂直,并且BD與AD不能垂直,進而得到AB⊥BD得到答案.
解答:解:(1)因為AC⊥CD,BC⊥CD,
所以CD⊥平面ABC,
又因為CD?平面BCD,
所以平面ABC⊥平面BCD,
因為AB⊥BC,平面ABC∩平面BCD=BC,
所以AB⊥平面BCD,
所以AB⊥BD.
(2)當(dāng)AC⊥CD時,則AB⊥BD,
因為AB=a,BC=b,CD=c,
所以BD=
b2+c2
,AC=
a2+b2
,
所以四面體ABCD的表面積S=
1
2
ab+
1
2
bc+
1
2
a
b2+c2
+
1
2
c
a2+b2

當(dāng)AC與CD不垂直時,則AD⊥CD,否則由(1)知AB⊥BD,可得AC⊥CD(矛盾),
當(dāng)AD⊥AC時,AB與AD不能垂直,否則AD⊥平面ABC,
所以BC⊥AD,
因為BC⊥CD,BC⊥平面ACD,
所以BC⊥AC,這與AB⊥BC矛盾,
所以BD⊥AD,從而可得:AD2=a2-b2-c2,…①
由AD⊥AC得,AD2=c2-b2-a2…②
由①②可得:a=c,所以AD2=-b2<0矛盾.
所以AD⊥CD,從而得到AB⊥AD,
當(dāng)AD⊥CD時,AD2=a2+b2-c2,
當(dāng)AB⊥AD時,AD2=b2+c2-a2,
所以a=c,AD=b,此時四面體的各個面是全等的三角形,變形成為一平面圖形,所以舍去.
所以其表面積為S=
1
2
ab+
1
2
bc+
1
2
a
b2+c2
+
1
2
c
a2+b2
.…12(分)
點評:本題主要考查空間中的點、線、面得位置關(guān)系,解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握線面垂直、線線垂直、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理,此題考查學(xué)生的推理論證與空間想象能力,以及考查分析問題與解決問題的能力,此題考查的知識比較基礎(chǔ),但象這種基礎(chǔ)知識也是學(xué)生的薄弱點與易錯點.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四面體ABCD中,O是BD的中點,△ABD和△BCD均為等邊三角形,
AB=2,AC=
6

(I)求證:AO⊥平面BCD;
(II)求二面角A-BC-D的大。
(III)求O點到平面ACD的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四面體ABCD中,O.E分別為BD.BC的中點,且CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=
2

(1)求證:AO⊥平面BCD;
(2)求 異面直線AB與CD所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四面體ABCD中,0是BD的中點,CA=CB=CD=BD=a,AB=AD=
2
2
a

(1)求證:平面AOC⊥平面BCD;
(2)求二面角O-AC-D的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點,AO⊥平面BCD,CA=CB=CD=BD=2.
(1)求證:面ABD⊥面AOC;
(2)求異面直線AE與CD所成角的大。

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