Question

【題目】設函數，其中.

（1）當時，的零點個數；

（2）若的整數解有且唯一，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）只有一個零點（2）

【解析】

（1）求導，根據導數求函數的單調性，結合極值即可判斷；（2）易發(fā)現，再分和根據導數與函數單調性的關系討論題設成立時的取值范圍，求交集即可.

解：（1），當時，，函數單增，

且時函數值都已經大于0了；當時，，函數單減，

且，所以只有一個零點

（2）觀察發(fā)現，下證除整數0外再無其他整數 ，

①當時，，根據同向不等式乘法得到，因為，

所以，所以函數單增，且趨于時函數值顯然很大很大；

但要保證只有唯一整數0，需要，卻發(fā)現恒成立，

②當時，要保證只有唯一整數0，首先需要，得到

當時，，根據同向不等式得到，又因，

所以，所以函數在單減，且

綜上所述：的整數解有且唯一時，