Question

（2012•唐山二模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，極軸為z軸的正半軸，兩種坐標(biāo)系的長度單位相同，己知圓C₁的極坐標(biāo)方程為p=4（cosθ+sinθ，P是C₁上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線OP上且滿足OQ=

1

2

OP，點(diǎn)Q的軌跡為C₂．
（I）求曲線C₂的極坐標(biāo)方程，并化為直角坐標(biāo)方程；
（ II）已知直線l的參數(shù)方程為

x=2+tcosφ y=tsinφ

（t為參數(shù)，0≤φ＜π），l與曲線C₂有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求φ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P、Q的極坐標(biāo)分別為（ρ₀，θ）、（ρ，θ），則極坐標(biāo)方程，ρ=

1

2

ρ₀=

1

2

•4（cosθ+sinθ）=2（cosθ+sinθ），利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，得出直線直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）將l的代入曲線C₂的直角坐標(biāo)方程，得出（tcosφ+1）²+（tsinφ-1）²=2，即t²+2（cosφ-sinφ）t=0，φ的值應(yīng)使得關(guān)于t的方程有兩相等實(shí)根．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P、Q的極坐標(biāo)分別為（ρ₀，θ）、（ρ，θ），則
ρ=

1

2

ρ₀=

1

2

•4（cosθ+sinθ）=2（cosθ+sinθ），
點(diǎn)Q軌跡C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2（cosθ+sinθ），…（3分）
兩邊同乘以ρ，得ρ²=2（ρcosθ+ρsinθ），
C₂的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2x+2y，即（x-1）²+（y-1）²=2．…（5分）
（Ⅱ）將l的代入曲線C₂的直角坐標(biāo)方程，得
（tcosφ+1）²+（tsinφ-1）²=2，即t²+2（cosφ-sinφ）t=0，…（7分）
t₁=0，t₂=sinφ-cosφ，
由直線l與曲線C₂有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，得sinφ-cosφ=0，
因?yàn)?≤φ＜π，所以φ=

π

4

．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查了極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程中參數(shù)的意義，考查了方程思想．