Question

設(shè)連接雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1與

y2

b2

-

x2

a2

=1(a＞0，b＞0)的4個頂點(diǎn)的四邊形面積為S₁，連接其4個焦點(diǎn)的四邊形面積為S₂，則

S1

S2

的最大值為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)對稱性，兩個四邊形的面積都可以分為四個全等的直角三角形的面積，兩個面積的比值用a，b表示出來，再根據(jù)基本不等式求最大值．

解答：解：設(shè)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的右頂點(diǎn)為A，其坐標(biāo)是（a，0），由焦點(diǎn)為C，坐標(biāo)為(

a2+b2

，0)；
設(shè)雙曲線

y2

b2

-

x2

a2

=1上頂點(diǎn)為B，坐標(biāo)為（0，b），上焦點(diǎn)為D，坐標(biāo)為(0，

a2+b2

)．O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
則S₁=4S_△OAB=2ab，S₂=4S_△OCD=2（a²+b²），
所以

S1

S2

=

ab

a2+b2

≤

ab

2ab

=

1

2

．
故答案為

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)和使用基本不等式求二元函數(shù)的最值．考點(diǎn)：圓錐曲線與方程、不等式．