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【題目】如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，，.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

取中點，連接、，由已知可證，，可得平面，可證。

由已知可得是等腰三角形，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標系，求出面與面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值得二面角的余弦值。

解：（1）取中點，連接、.

由，知，，.

又∴平面，

又平面，∴.

（2）法一：由題可得，，故，所以.

所以可以為原點，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標系.

則，，，，

，，，.

設平面的一個法向量為，則

即令得.

同理可得平面的一個法向量為.

∴.

又二面角為銳二面角所以二面角的余弦為.

法二：設二面角，的大小分別為，，則

，，

∴.

即二面角的余弦為.

而二面角與二面角大小互補、故二面角的余弦為.

練習冊系列答案
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