Question

已知數列{a_n}中，點P（a_n，a_n+1）在函數f（x）=x+2圖象上，數列{b_n}前n項和為S_n，且a₁=2，b_n，S_n成等差數列．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設Cn=

an

bn

，{Cn}前n項和為Tn．問是否存在最小的正整數m，使對任意 n∈N^*都有T_n＜m．若存在，求出m的值，否則，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由P（a_n，a_n+1）在函數f（x）=x+2圖象上，得到數列{a_n}是等差數列，直接由等差數列的通項公式求數列a_n；再利用2，b_n，S_n成等差數列得到數列{b_n}的遞推式，首先求出b₁，由遞推式可以判定數列{b_n}是等比數列，由等比數列的通項公式寫出b_n；
（2）把數列{a_n}，{b_n}的通項公式代入cn=

an

bn

，然后利用錯位相減法求出數列{c_n}的前n項和Tn=4-

1

2n-2

-

n

2n-1

由此可以得到存在最小的正整數4，使對任意 n∈N^*都有T_n＜4．

解答：解：（1）∵點（a_n，a_n+1）在f（x）=x+2的圖象上，
∴a_n+1=a_n+2，
∴a_n+1-a_n=2，
∴{a_n}是以2為公差的等差數列，
又a₁=2，
則a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．
由2，b_n，S_n成等差數列，
所以S_n+2=2b_n  ①
當n=1時，b₁+2=2b₁，所以b₁=2．
當n≥2時，S_n-1+2=2b_n-1②
①-②得：b_n=2b_n-2b_n-1．
所以b_n=2b_n-1（n≥2）．
因為b₁=2≠0，所以

bn

bn-1

=2（n≥2）．
故數列{b_n}是以2為首項，以2為公比的等比數列．
所以bn=b1qn-1=2•2n-1=2n；
（2）由cn=

an

bn

=

2n

2n

=

n

2n-1

．
所以{c_n}的前n項和
T_n=c₁+c₂+…+c_n=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

③

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

④
③-④得：

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1•(1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n

．
所以Tn=4-

1

2n-2

-

n

2n-1

＜4．
所以存在最小的正整數m=4，使對任意 n∈N^*都有T_n＜4．

點評：本題是等差數列和等比數列的綜合題，考查了等差數列和等比數列的確定，考查了等差數列和等比數列的通項公式，關鍵是對n=1和n≥2進行討論，考查了利用錯位相減法求數列的和，是中檔題．