過拋物線y2=2px(p>0)的頂點(diǎn)作互相垂直的兩弦OA,OB.
(1)求AB中點(diǎn)p的軌跡方程;
(2)求拋物線頂點(diǎn)O在AB上射影M的軌跡方程.
分析:(1)先設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)及中點(diǎn)P的坐標(biāo),根據(jù)中點(diǎn)的定義得到三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,再由OA⊥OB得到
y1
x1
y2
x2
=-1,再結(jié)合A、B兩點(diǎn)在拋物線上滿足拋物線方程可得到y(tǒng)1y2、y12+y22的關(guān)系消去x1、y1、x2、y2可得到最后答案.
(2)先設(shè)M(x,y),然后聯(lián)立y=kx、y=-
x
k
與拋物線求出兩交點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而得到直線OM的斜率、方程和直線AB的方程,最后聯(lián)立直線OM和直線AB的方程可得到射影M的軌跡方程.
解答:解:設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1)、(x2,y2),AB中點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0,y0),則
x1+x2=2x0
y1+y2=2y0
y1
x1
y2
x2
=-1,即y1y2=-x1x2
y12=2px1
y22=2px2
(y1y22=4p2x1x2=-4p2y1y2
y1y2=-4p2
y12+y22=2p(x1+x2
(y1+y22-2y1y2=2p(x1+x2
4y02+8p2=4px0
y02=px0-2p2
所以中點(diǎn)軌跡方程為:y2=px-2p2
(2)設(shè)M(x,y)
y=kx與拋物線聯(lián)立的交點(diǎn)坐標(biāo)為(
4p
k2
4p
k
),y=-
x
k
與拋物線聯(lián)立的交點(diǎn)坐標(biāo)為(4pk2,-4pk),
從而kOM=
k2-1
k
,故OM方程為:y=
k2-1
k
x    ①?
AB方程為:y+4pk=-
k
k2-1
(x-4pk2)      ②?
①×②得:y2+4pky=-x•(x-4pk2)即:
x2+y2=-4pky+4pk2x=4p•(k2x-ky)         ③?
由①得:k2x-ky=x代入③并化簡得:(x-2p)2+y2=4p2.?
所以點(diǎn)M的軌跡方程為:(x-2p)2+y2=4p2,其軌跡是以(2p,0)為圓心,半徑為2p的圓.
點(diǎn)評:本題主要考查直線和拋物線的綜合問題.直線和圓錐曲線的綜合題是高考的重點(diǎn)內(nèi)容,每年必考.
練習(xí)冊系列答案
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過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為A,與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為B,點(diǎn)A在拋物線準(zhǔn)線上的射影為C,若
AF
=
FB
,
BA
BC
=48
,則拋物線的方程為( 。
A、y2=4x
B、y2=8x
C、y2=16x
D、y2=4
2
x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過拋物線y2=2px(p>0)上一定點(diǎn)P(x0,y0)(y0>0)作兩條直線分別交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2),若PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ),則
y1+y2y0
=
 

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過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),O為拋物線的頂點(diǎn).則△ABO是一個(gè)( 。
A、等邊三角形B、直角三角形C、不等邊銳角三角形D、鈍角三角形

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過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線AB交拋物線于A,B兩點(diǎn),弦AB的中點(diǎn)為M,過M作AB的垂直平分線交x軸于N.
(1)求證:FN=
12
AB
;
(2)過A,B的拋物線的切線相交于P,求P的軌跡方程.

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(2010•武漢模擬)已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn),直線OM、ON(O為坐標(biāo)原點(diǎn))分別與準(zhǔn)線l:x=-
p
2
相交于P、Q兩點(diǎn),則∠PFQ=( 。

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