Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.
（1）寫出數(shù)列的前三項(xiàng)；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）證明：對(duì)任意的整數(shù)，有.

Answer 1

（１）　由由
由
（２）
（３）見(jiàn)解析.

.
（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和滿足，那么對(duì)于n令值，邊可以寫出數(shù)列的前三項(xiàng)；
（2）根據(jù)前幾項(xiàng)歸納猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明�；蛘呃锢�用迭代思想，得到通項(xiàng)公式。
（3）利用放縮法得到求和，并證明不等式。
（１）為了計(jì)算前三項(xiàng)的值，只要在遞推式中，對(duì)取特殊值，就可以消除解題目標(biāo)與題設(shè)條件之間的差異．
　由
由
由
（２）為了求出通項(xiàng)公式，應(yīng)先消除條件式中的．事實(shí)上
當(dāng)時(shí)，有
 
即有　
從而　
　　　
…… 

接下來(lái)，逐步迭代就有


經(jīng)驗(yàn)證a₁也滿足上式，故知
其實(shí)，將關(guān)系式和課本習(xí)題作聯(lián)系，容易想到：這種差異的消除，只要對(duì)的兩邊同除以，便得
　　　　　　　　　．
令就有
，
于是        ，
這說(shuō)明數(shù)列是等比數(shù)列，公比　首項(xiàng)，從而，得
　　　　　，
即　　　　，
故有
（３）由通項(xiàng)公式得
當(dāng)且n為奇數(shù)時(shí)， 

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，


當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為上面的情景

故任意整數(shù)m>4，有