Question

（2011•豐臺(tái)區(qū)二模）張先生家住H小區(qū)，他在C科技園區(qū)工作，從家開車到公司上班有L₁，L₂兩條路線（如圖），L₁路線上有A₁，A₂，A₃三個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率均為

1

2

；L₂路線上有B₁，B₂兩個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率依次為

3

4

，

3

5

．
（Ⅰ）若走L₁路線，求最多遇到1次紅燈的概率；
（Ⅱ）若走L₂路線，求遇到紅燈次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求，請(qǐng)你幫助張先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說明理由．
關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)問題，幾次考查都沒有將概率與統(tǒng)計(jì)圖表結(jié)合起來，請(qǐng)老師們注意，在復(fù)練時(shí)要有意識(shí)的進(jìn)行練習(xí)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)走L₁路線最多遇到1次紅燈為A事件，再根據(jù)題意求出其發(fā)生的概率為P(A)=

C

0 3

×(

1

2

)3+

C

1 3

×

1

2

×(

1

2

)2=

1

2

，即可得到答案．
（Ⅱ）依題意，X的可能取值為0，1，2．結(jié)合題意分別求出其發(fā)生的概率，即可得到隨機(jī)變量X的分布列，進(jìn)而求出X的期望．
（Ⅲ）根據(jù)題意可得：選擇L₁路線遇到紅燈次數(shù)為Y，并且隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布Y～B(3，

1

2

)，即可根據(jù)有關(guān)公式求出Y的數(shù)學(xué)期望，進(jìn)而能夠做出正確的選擇．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)走L₁路線最多遇到1次紅燈為A事件，
則P(A)=

C

0 3

×(

1

2

)3+

C

1 3

×

1

2

×(

1

2

)2=

1

2

．                                  …（4分）
所以走L₁路線，最多遇到1次紅燈的概率為

1

2

．
（Ⅱ）依題意，X的可能取值為0，1，2．  …（5分）
所以P(X=0)=(1-

3

4

)×(1-

3

5

)=

1

10

，P(X=1)=

3

4

×(1-

3

5

)+(1-

3

4

)×

3

5

=

9

20

，P(X=2)=

3

4

×

3

5

=

9

20

．                                   …（8分）
所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2
P	1 10	9 20	9 20

所以EX=

1

10

×0+

9

20

×1+

9

20

×2=

27

20

．                                  …（10分）
（Ⅲ）設(shè)選擇L₁路線遇到紅燈次數(shù)為Y，隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布，Y～B(3，

1

2

)，
所以EY=3×

1

2

=

3

2

．                                                 …（12分）
因?yàn)镋X＜EY，所以選擇L₂路線上班最好．                             …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件的概率與相互獨(dú)立事件的概率，以及考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，是一個(gè)和實(shí)際生活結(jié)合比較緊密的問題，此題屬于中檔題型，是高考命題的趨向．