【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx。

(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

(2)求證:當x>0時,f(x)≥l-;

(3)若x-1>alnx對任意x>1恒成立,求實數(shù)a的最大值。

【答案】(1) 切線方程為y=x-1;(2)見解析;(3) 實數(shù)a的最大值為1.

【解析】試題分析:(1)求導得切線斜率,由點斜式可得切線方程;

2令g(x)=f(x)-(1-)=lnx-l+,求導,得函數(shù)在(0,1)單調(diào)遞減,在(1,+)單調(diào)遞增,進而得g(x)≥g(1)=0,從而得證;

(3)設(shè)h(x)=x-1-alnx(x≥1),求導得h'(x)=1-=,a≤1時,a>1時,判斷函數(shù)的單調(diào)性,求解最值推出結(jié)論即可.

試題解析:

(1)f'(x)=,f'(1)=1,又f(1)=0,所以切線方程為y=x-1.

(2)由題意知x>0,令g(x)=f(x)-(1-)=lnx-l+.

g'(x)=-=,

令g'(x)==0,解得x=1。

易知當x>l時,g'(x)>0,易知當0<x<l時,g'(x)<0.

即g(x)在(0,1)單調(diào)遞減,在(1,+)單調(diào)遞增.

所以g(x)min=g(1)=0,g(x)≥g(1)=0,

即g(x)=f(x)-(1-)≥0,即f(x)≥(1-).

(3)設(shè)h(x)=x-1-alnx(x≥1),依題意,對于任意x>l,h(x)>0恒成立.

h'(x)=1-=,

a≤l時,h'(x)>0,h(x)在[1,+)上單調(diào)遞增,

當x>l時,h(x)>h(1)=0,滿足題意.

a>1時,隨x變化,h'(x),h(x)的變化情況如下表:

x

(1,a)

a

(a,+

h'(x)

-

0

+

h(x)

極小值

h(x)在(1,a)上單調(diào)遞減,所以h(a)<h(1)=0,

即當a>1時,總存在h(a)<0,不合題意.

綜上所述,實數(shù)a的最大值為1.

練習冊系列答案
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2當銷售商一次訂購多少件服裝時,該廠獲得的利潤最大?其最大利潤是多少?

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甲校:

分組

[70,80)

[80,90)

[90,100)

[100,110)

頻數(shù)

3

4

7

14

分組

[110,120)

[120,130)

[130,140)

[140,150]

頻數(shù)

17

x

4

2

乙校:

分組

[70,80)

[80,90)

[90,100)

[100,110)

頻數(shù)

1

2

8

9

分組

[110,120)

[120,130)

[130,140)

[140,150]

頻數(shù)

10

10

y

4


(1)計算x,y的值;
(2)若規(guī)定考試成績在[120,150]內(nèi)為優(yōu)秀,由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為兩所學校的數(shù)學成績有差異;
(3)若規(guī)定考試成績在[120,150]內(nèi)為優(yōu)秀,現(xiàn)從已抽取的110人中抽取兩人,要求每校抽1人,所抽的兩人中有人優(yōu)秀的條件下,求乙校被抽到的同學不是優(yōu)秀的概率.

甲校

乙校

總計

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計

參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.
臨界值表:

P(K2≥k0

0.10

0.05

0.010

k0

2.706

3.841

6.635

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