Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在x軸上、半徑為2的圓C位于y軸右側(cè)，且與直線x-

3

y+2=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）在圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交于不同的兩點A，B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓心是（x₀，0）（x₀＞0），由直線x-

3

y+2=0于圓相切可知，圓心到直線的距離等于半徑，利用點到直線的距離公式可求x₀，進(jìn)而可求圓C的方程
（2）把點M（m，n）代入圓的方程可得，m，n的方程，結(jié)合原點到直線l：mx+ny=1的距離h＜1可求m的范圍，根據(jù)弦長公式求出AB，代入三角形的面積公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求最大值

解答：解：（1）設(shè)圓心是（x₀，0）（x₀＞0），它到直線x-

3

y+2=0的距離是d=

|x0+2|

1+3

=2，
解得x₀=2或x₀=-6（舍去）…（3分）
∴所求圓C的方程是（x-2）²+y²=4…（4分）
（2）∵點M（m，n）在圓C上
∴（m-2）²+n²=4，n²=4-（m-2）²=4m-m²且0≤m≤4…（6分）
又∵原點到直線l：mx+ny=1的距離h=

1

m2+n2

=

1

4m

＜1…（8分）
解得

1

4

＜m≤4…（10分）
而|AB|=2

1-h2

∴S△OAB=

1

2

|AB|•h=

h2-h4

=

1 4m -( 1 4m )2

=

-( 1 4m - 1 2 )2+ 1 4

…（11分）
∵

1

16

≤

1

4m

＜1…（12分）
∴當(dāng)

1

4m

=

1

2

，即m=

1

2

時取得最大值

1

2

，
此時點M的坐標(biāo)是(

1

2

，

7

2

)與(

1

2

，-

7

2

)，面積的最大值是

1

2

．

點評：本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，點到直線的距離公式的應(yīng)用，直線與圓的相交關(guān)系的應(yīng)用及基本運算的能力