Question

箱中裝有大小相同的黃、白兩種顏色的乒乓球，黃、白乒乓球的數(shù)量比為s：t．現(xiàn)從箱中每次任意取出一個球，若取出的是黃球則結(jié)束，若取出的是白球，則將其放回箱中，并繼續(xù)從箱中任意取出一個球，但取球的次數(shù)最多不超過n次，以ξ表示取球結(jié)束時已取到白球的次數(shù)．
（Ⅰ）求ξ的分布列；
（Ⅱ）求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）ξ表示取球結(jié)束時已取到白球的次數(shù)，ξ的可能取值為：0，1，2，…，n，結(jié)合變量對應(yīng)的事件和相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率寫出變量的分布列．
（II）寫出變量的期望，觀察期望的表示式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)期望是一個等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和，看出首項(xiàng)和公比，可以根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得到結(jié)果，也可以根據(jù)錯位相減得到結(jié)果．

解答：解：（I）ξ的可能取值為：0，1，2，，n
ξ的分布列為

（II）ξ的數(shù)學(xué)希望為Eξ=0×

s

s+t

+1×

st

(s+t)2

+2×

st2

(s+t)3

+…+（n-1）×

stn-1

(s+t)n-1

+n×

tn

(s+t)n

（1）

t

s+t

Eξ=

st2

(s+t)2

+…+

(n-2)stn-1

(s+t)n-1

+

(n-1)stn

(s+t)n-1

+

ntn+1

(s+t)n+1

（2）
（1）-（2）得Eξ=

t

s

-

tn

s(s+t)n-1

-

(n-1)tn

(s+t)n-1

+

ntn

(s+t)n

．

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的期望和分布列，本題有一點(diǎn)特殊，概率的表示式不是具體的數(shù)字而是字母，這樣給解題帶來一定的難度．