設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,
上頂點(diǎn)為,在軸負(fù)半軸上有一點(diǎn),滿足,且.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)是過三點(diǎn)的圓上的點(diǎn),到直線的最大距離等于橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng),求橢圓的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn),線段的中垂線與軸相交于點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)
解析試題分析:解:(Ⅰ)連接,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a1/2/16jfq2.png" style="vertical-align:middle;" />,,所以,
即,故橢圓的離心率.
(Ⅱ)由(1)知得于是, ,
的外接圓圓心為),半徑
到直線的最大距離等于,所以圓心到直線的距離為,
所以,得 ,橢圓方程為
(Ⅲ)由(Ⅱ)知, :
代入消得
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/74/4/1zc1r3.png" style="vertical-align:middle;" />過點(diǎn),所以恒成立
設(shè),則,
中點(diǎn)
當(dāng)時(shí),為長(zhǎng)軸,中點(diǎn)為原點(diǎn),則
當(dāng)時(shí)中垂線方程.
令,
,, 可得
綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍是.
考點(diǎn):橢圓的方程;橢圓的性質(zhì);
點(diǎn)評(píng):關(guān)于曲線的大題,難度相對(duì)都較大。對(duì)于題目涉及到關(guān)于直線和其他曲線的交點(diǎn)時(shí),一般都可以用到跟與系數(shù)的關(guān)系式:在一元二次方程中,。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知拋物線的焦點(diǎn)在拋物線上.
(1)求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程;
(2)過拋物線上的動(dòng)點(diǎn)作拋物線的兩條切線、, 切點(diǎn)為、.若、的斜率乘積為,且,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:的離心率為,右焦點(diǎn)到直線 的距離為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線 與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),且線段AB中點(diǎn)恰好在直線上,求△OAB的面積S的最大值.(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
橢圓C以拋物線的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)A(2,3).
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若分別為橢圓的左右焦點(diǎn),求的角平分線所在直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,橢圓的頂點(diǎn)為,焦點(diǎn)為,.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)n 為過原點(diǎn)的直線,是與n垂直相交于P點(diǎn),與橢圓相交于A, B兩點(diǎn)的直線,.是否存在上述直線使成立?若存在,求出直線的方程;并說出;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合.(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)動(dòng)直線恒過點(diǎn)與拋物線交于A、B兩點(diǎn),與軸交于C點(diǎn),請(qǐng)你觀察并判斷:在線段MA,MB,MC,AB中,哪三條線段的長(zhǎng)總能構(gòu)成等比數(shù)列?說明你的結(jié)論并給出證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系, 曲線C1的極坐標(biāo)方程為:
(1)求曲線C1的普通方程
(2)曲線C2的方程為,設(shè)P、Q分別為曲線C1與曲線C2上的任意一點(diǎn),求|PQ|的最小值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,直角坐標(biāo)系中,一直角三角形,,B、D在軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,在邊上,BD=3DC,△ABC的周長(zhǎng)為12.若一雙曲線以B、C為焦點(diǎn),且經(jīng)過A、D兩點(diǎn).
⑴ 求雙曲線的方程;
⑵ 若一過點(diǎn)(為非零常數(shù))的直線與雙曲線相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)、,且,問在軸上是否存在定點(diǎn),使?若存在,求出所有這樣定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由
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