Question

【題目】已知橢圓：，若橢圓：，則稱橢圓與橢圓 “相似”.

（1）求經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓： “相似”的橢圓的方程；

（2）若，橢圓的離心率為，在橢圓上，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且.

①若的坐標(biāo)為，且，求直線的方程；

②若直線，的斜率之積為，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②.

【解析】試題分析：

⑴設(shè)橢圓的方程為，結(jié)合橢圓過點(diǎn)可得橢圓的方程為.

⑵由題意設(shè)橢圓，橢圓，設(shè)，

①方法一：聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得，則，，代入橢圓可得，解得，直線的方程為.

方法二：由題意得，則橢圓，，

設(shè)，則，聯(lián)立橢圓方程可得， 則直線的方程為.

②方法一： 由題意得，結(jié)合，則，可得：，

整理計(jì)算得到關(guān)于的方程：，.

方法二：不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，直線，與橢圓方程聯(lián)立可得，則，直線的斜率之積為，計(jì)算可得，則，結(jié)合，可得，即，.

試題解析：

⑴設(shè)橢圓的方程為，代入點(diǎn)得，

所以橢圓的方程為.

⑵因?yàn)闄E圓的離心率為，故，所以橢圓，

又橢圓與橢圓“相似”，且，所以橢圓，

設(shè)，

①方法一：由題意得，所以橢圓，將直線，

代入橢圓得，

解得，故，

所以，

又，即為中點(diǎn)，所以，

代入橢圓得，

即，即，所以，

所以直線的方程為.

方法二：由題意得，所以橢圓，，

設(shè)，則，

代入橢圓得，解得，故，

所以，

所以直線的方程為.

②方法一： 由題意得，

，即，

，則，解得，

所以，

則，

，

所以，即，所以.

方法二：不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，設(shè)直線，代入橢圓，

解得，則，

直線的斜率之積為，則直線，代入橢圓，

解得，則，

，則，解得，

所以，

則，

，

所以，

即，即，所以.