Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）求證：“”是“函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)” 的充分必要條件.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)切線的幾何意義得到切線的斜率， ，所以切線方程為；（2）先證充分性再證必要性，含參討論，函數(shù)圖像和x軸的交點(diǎn)情況。

解析：

（Ⅰ）依題意，

所以切線的斜率

又因?yàn)?/span>，所以切線方程為.

（Ⅱ）先證不必要性.

當(dāng)時(shí)， ，令，解得.

此時(shí)， 有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故“有且只有一個(gè)零點(diǎn)則”不成立.

再證充分性.

方法一：

當(dāng)時(shí)， .

令，解得.

（i）當(dāng)，即時(shí)， ，

所以在上單調(diào)增.

又，

所以有且只有一個(gè)零點(diǎn).

（ii）當(dāng)，即時(shí)，

， 隨的變化情況如下:

				0
		0		0
		極大值		極小值

當(dāng)時(shí)， ， ，所以

又

所以有且只有一個(gè)零點(diǎn).

（iii）當(dāng)，即時(shí)， ， 隨的變化情況如下:

		0
		0		0
		極大值		極小值

因?yàn)?/span>，所以時(shí)，

令，則.

下面證明當(dāng)時(shí)， .

設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減

所以當(dāng)時(shí)， 取得極大值.

所以當(dāng)時(shí)， , 即.

所以.

由零點(diǎn)存在定理， 有且只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上， 是函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件.

方法二：

當(dāng)時(shí)，注意到時(shí)， ， ， ，

因此只需要考察上的函數(shù)零點(diǎn).

（i）當(dāng)，即時(shí)， 時(shí)， ，

單調(diào)遞增.

又

有且只有一個(gè)零點(diǎn).

（ii）當(dāng)，即時(shí)，以下同方法一.