Question

設(shè)x₁，x₂是函數(shù)f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2-a2x(a＞0)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且|x₁|+|x₂|=2．
（1）證明：|b|≤

4 3

9

．
（2）若g（x）=f'（x）-2a（x-x₁），證明當(dāng)x₁＜x＜2時(shí)，且x₁＜0時(shí)，|g（x）|≤4a．

Answer 1

分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，據(jù)導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處的值為0，得到x₁，x₂是方程f'（x）=ax²+bx-a²=0的兩個(gè)根．再利用二次方程的韋達(dá)定理求出x₁，x₂與a的關(guān)系，且判斷出它們異號，將韋達(dá)定理代入|x₁|+|x₂|=2，求出b的范圍．
（2）先求出g（x），利用x₁，x₂異號，判斷出x₂＞0，從而將絕對值符號去掉，利用基本不等式得到不等式|g（x）|≤4a

解答：解：（1）f'（x）=ax²+bx-a²．
由x₁，x₂是函數(shù)f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2-a2x(a＞0)的兩個(gè)極值點(diǎn)，
知x₁，x₂是方程f'（x）=ax²+bx-a²=0的兩個(gè)根．
所以，

x1+x2=- b a x1x2=-a

又因?yàn)閍＞0，所以，x₁，x₂異號，
所以，2=|x₁|+|x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2 a2 +4a

．
即b²=a²（4-4a），其中0＜a≤1．
設(shè)u（a）=a²（4-4a），
則u'（a）=8a-12a²．
所以，u（a）在(0，

2

3

]上單調(diào)遞增，在[

2

3

，1)單調(diào)遞減．
所以，當(dāng)0＜a≤1時(shí)，u(a)≤u(

2

3

)=

16

27

即b2≤

16

27

，所以，|b|≤

4 3

9

．
（2）g（x）=f'（x）-2a（x-x₁）=a（x-x₁）（x-x₂）-2a（x-x₁）=a（x-x₁）（x-x₂-2），
因?yàn)閤₁x₂=-a＜0，且x₁＜0，所以，x₂＞0，
所以，當(dāng)x₁＜x＜2時(shí)，
|g(x)|=a(x-x1)(x2+2-x)≤a[

(x-x1)+(x2+2-x)

2

]2=4a．

點(diǎn)評：解決函數(shù)的極值問題，常利用性質(zhì)：導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0；利用基本不等式求函數(shù)的最值，要注意使用的條件：一正、二定、三相等．