在等式cos2x＝2cos2x－1(x∈R)的兩邊求導(dǎo)，得：，由求導(dǎo)法則，得(－sin2x)·2＝4cosx·(－sinx)，化簡得等式：sin2x＝2cosx·sinx．

(1)利用上題的想法(或其他方法)，結(jié)合等式(x∈R，正整數(shù)n≥2)，證明：．

(2)對于正整數(shù)n≥3，求證：

(i)；

(ii)；

(iii)．

答案：
解析：

　　證明：(1)在等式兩邊對求導(dǎo)得

　　

　　移項得　　(*)

　　(2)(i)在(*)式中，令，整理得

　　所以

　　(ii)由(1)知

　　兩邊對求導(dǎo)，得

　　在上式中，令

　　

　　即，

　　亦即　　(1)

　　又由(i)知　　(2)

　　由(1)＋(2)得

　　(iii)將等式兩邊在上對積分

　　由微積分基本定理，得

　　所以


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：安徽省安慶市示范高中五校2010屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 題型：044

請先閱讀：在等式cos2x＝2cos2x－1(x∈R)的兩邊求導(dǎo)，得：

，

由求導(dǎo)法則，得(－sin2x)·2＝4cosx·(－sinx)，化簡得等式：sin2x＝2cosx·sinx．

(1)利用上題的想法(或其他方法)，試由等式(1＋x)n＝(x∈R，正整數(shù)n≥2)，證明：n[(1＋x)n－1－1]＝．

(2)對于正整數(shù)n≥3，求證：

(i)＝0；

(ii)＝0；

(iii)．

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