Question

在直角坐標系中，動點M到點P(

2

，

2

)的距離等于點M到直線x+y-

2

=0的距離的

2

倍，記動點M的軌跡為W，過點A（a，0）（a＞0）作一條斜率為k（k＜0）的直線交曲線W于B，C兩點，且交y軸于點D．
（1）求動點M的軌跡，并指出它的三條性質或特征；
（2）求證：|AB|=|CD|；
（3）若|BC|=|BD|，求△OAD的面積．（O為坐標原點）

Answer 1

分析：（1）直接根據動點M到點P(

2

，

2

)的距離等于點M到直線x+y-

2

=0的距離的

2

倍，整理可得動點M的軌跡方程為為xy=1雙曲線，再根據雙曲線的性質寫出其性質即可；
（2）直線方程為y=k（x-a），聯(lián)立直線方程與雙曲線方程整理求出BC中點以及AD的中點，只要中點坐標相同即可說明結論．
（3）先根據|BC|=|BD|，得到x₂=2x₁，結合上面的結論得到k和a之間的關系，再代入三角形的面積公式整理即可得到結論．

解答：解：（1）設M（x，y），
依題意有：

(x- 2 )2+(y- 2 )2

=

2

•

|x+y- 2 |

2

．化簡得xy=1．
即動點M的軌跡方程為xy=1雙曲線，其性質為                            （4分）
（1）焦點（

2

，

2

）（2）實軸長2

2

（3）虛軸長2

2

（4）對稱性y=±x，（0，0）（5）漸近線x=0，y=0等                 （8分）
（2）直線方程為y=k（x-a），由

y=k(x-a) xy=1

得
kx²-kax-1=0．
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），BC中點為N（x₀，y₀），
則x0=

x1+x2

2

=

a

2

，y0=-

ka

2

．即N(

a

2

，-

ka

2

)．
又D（0，-ka）
∴AD中點也為N(

a

2

，-

ka

2

)．
由|AN|=|DN|，|BN|=|CN|，
可得|AB|=|CD|（14分）
（3）若|BC|=|BD|，可知x₁＜x₂，
則x₁=x₂-x₁，即x₂=2x₁，
又x1+x2=a，x1x2=-

1

k

，
消去x1，x2，可得ka2=-

9

2

．
又|OA|=a，|OD|=-ka，
∴S_△OCD=

1

2

|OA|•|OD|=

1

2

•a•(-ka)=

9

4

．（18分）

點評：本題主要考查軌跡方程的求法以及直線與圓錐曲線的位置關系．解決本題的關鍵在于根據動點M到點P(

2

，

2

)的距離等于點M到直線x+y-

2

=0的距離的

2

倍，整理得到動點M的軌跡方程．