【答案】
分析:本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合問題,涉及了拋物線方程、直線與拋物線的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)及其幾何意義、求曲線方程、證明等差數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法等多方面的知識(shí)和方法.
對(duì)于(Ⅰ)的求解,要充分利用點(diǎn)在拋物線上則滿足拋物線方程,結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式用點(diǎn)p(x,y)表示|A
1P|,然后借助于導(dǎo)數(shù),利用f'(x
2)=0建立方程,最終使問題得到解決.
對(duì)于(Ⅱ)類比(Ⅰ),首先利用點(diǎn)P(x,y)是C
n上任意一點(diǎn),得到|A
nP|=
=
,然后利用導(dǎo)數(shù)思想獲得x
n+1-x
n)+2(x
n+12+a
nx+b
n)(2x
n+1+a
n)=0并由此通過數(shù)學(xué)歸納法證明出x
n=2n-1,也即證明了{(lán)x
n}是等差數(shù)列.
解答:解:(Ⅰ)由題意得A
1(1,0),C
1:y=x
2-7x+b
1,
設(shè)點(diǎn)P(x,y)是C
1上任意一點(diǎn),
則|A
1P|=
=
令f(x)=(x-1)
2+(x
2-7x+b
1)
2則f'(x)=2(x-1)+2(x
2-7x+b
1)(2x-7)
由題意得f'(x
2)=0,
即2(x
2-1)+2(x
22-7x+b
1)(2x
2-7)=0
又P
2(x
2,2)在C
1上,∴2=x
22-7x
2+b
1解得x
2=3,b
1=14
故C
1的方程為y=x
2-7x+14
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P(x,y)是C
n上任意一點(diǎn),
則|A
nP|=
=
令g(x)=(x-x
n)
2+(x
2+a
nx+b
n)
2則g'(x)=2(x-x
n)+2(x
2+a
nx+b
n)(2x+a
n)
由題意得g'(x
n+1)=0
即2(x
n+1-x
n)+2(x
n+12+a
nx+b
n)(2x
n+1+a
n)=0
又∵2
n=x
n+1,∴(x
n+1-x
n)+2
n(2x
n+1+a
n)=0(n≥1),
即(1+2
n+1)x
n+1-x
n+2
na
n=0??(*)
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明x
n=2n-1,
①當(dāng)n=1時(shí),x
1=1,等式成立;
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立,即x
k=2k-1,
則當(dāng)n=k+1時(shí),由(*)知(1+2
k+1)x
k+1-x
k+2
ka
k=0,
又a
k=2-4k-
,∴x
k+1=
=2k+1,
即n=k+1時(shí),等式成立.
由①②知,等式對(duì)n∈N
*成立,
故{x
n}是等差數(shù)列.
點(diǎn)評(píng):本題的綜合性極強(qiáng),是多種知識(shí)和方法的匯總,處理起來難度較大,不僅需要具備綜合運(yùn)用知識(shí)的能力,還要運(yùn)算準(zhǔn)確,不走彎路,像這樣的題目,在山東省的近幾年高考中少見,不是所有人所追求,只提供給部分?jǐn)?shù)學(xué)功底強(qiáng)勁的同學(xué)研究,希望量力而行.