設(shè)點(diǎn)列An(xn,0)、Pn(xn,2n-1)和拋物線列Cn:y=x2+
x
2n
+an
(n∈N*),xn由以下方法得到:點(diǎn)Pn+1(xn+1,2n)在拋物線Cn:y=x2+
x
2n
+an
上,點(diǎn)An(xn,0)到Pn+1的距離是An到Cn上點(diǎn)的最短距離;試寫出xn+1和xn之間的遞推關(guān)系式為xn+1=
 
(用xn表示).
分析:本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合問題,涉及了拋物線方程、直線與拋物線的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)及其幾何意義等多方面的知識和方法.要充分利用點(diǎn)在拋物線上則滿足拋物線方程,結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式用點(diǎn)p(x,y)表示||AnP|,然后借助于導(dǎo)數(shù),因?yàn)辄c(diǎn)An(xn,0)到Pn+1的距離是An到Cn上點(diǎn)的最短距離,所以有f'(xn+1)=0,建立方程,最終使問題得到解決.
解答:解:由題意得設(shè)點(diǎn)P(x,y)是Cn上任意一點(diǎn),
則|AnP|=
(x-xn)2+(x2+
x
2n
+an
 
)
2
,令
f(x)
 =
(x-xn)2+(x2+
x
2n
+an
 
)
2

則f'(x)=2(x-xn)+2(x2+
x
2n
+an)(2x+
1
2n

因?yàn)辄c(diǎn)An(xn,0)到Pn+1的距離是An到Cn上點(diǎn)的最短距離,所以f'(xn+1)=0,
即2(xn+1-xn)+2(xn+12+
x
2n
+an)(2xn+1+
1
2n
)=0
又點(diǎn)Pn+1(xn+1,2n)在拋物線Cn:y=x2+
x
2n
+an
上,
2n=xn+12+
xn+1
2n
+an
,從而可得xn+1=
xn-1
2n+1+1
,
故答案為:xn+1=
xn-1
2n+1+1
點(diǎn)評:本題的綜合性極強(qiáng),是多種知識和方法的匯總,處理起來難度較大,不僅需要具備綜合運(yùn)用知識的能力,還要運(yùn)算準(zhǔn)確
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設(shè)點(diǎn)列An(xn,0)、Pn(xn,2n-1)和拋物線列(n∈N*),xn由以下方法得到:點(diǎn)Pn+1(xn+1,2n)在拋物線上,點(diǎn)An(xn,0)到Pn+1的距離是An到Cn上點(diǎn)的最短距離;試寫出xn+1和xn之間的遞推關(guān)系式為xn+1=    (用xn表示).

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