Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2-3x-

3

4

．定義函數(shù)f（x）與實數(shù)m的一種符號運算為m?f（x）=f（x）•[f（x+m）-f（x）]．
（1）求使函數(shù)值f（x）大于0的x的取值范圍；
（2）若g(x)=4?f(x)+

7

2

x2，求g（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)軸標(biāo)根法即可求解f（x）大于0的x的取值范圍．
（2）利用函數(shù)f（x）與實數(shù)m的一種符號運算的定義再化簡可獲得g（x）=2x3-

21

2

x2+9x+3分析此函數(shù)的特征需利用導(dǎo)數(shù)判斷其在區(qū)間[0，4]上單調(diào)性然后利用單調(diào)性求最值．

解答：解：（1）由f（x）＞0，得

1

2

x2-3x-

3

4

＞0
即2x²-12x-3＞0，解得x＜3-

42

2

或x＞3+

42

2

．
所以，x的取值范圍為 (-∞，3-

42

2

)∪(3+

42

2

，+∞)
（2）g(x)=4?f(x)+

7

2

x2=(

1

2

x2-3x-

3

4

)•{[

1

2

(x+4)2-3(x+4)-

3

4

]-(

1

2

x2-3x-

3

4

)}+

7

2

x2
=(

1

2

x2-3x-

3

4

)•(

1

2

×8x+

1

2

×16-3×4)+

7

2

x2
=(

1

2

x2-3x-

3

4

)•(4x-4)+

7

2

x2
=2x3-

21

2

x2+9x+3
對g（x）求導(dǎo)，得g'（x）=6x²-21x+9=3（x-3）（2x-1）
令g'（x）=0，解得x=

1

2

或x=3
當(dāng)x變化時，g'（x）、g（x）的變化情況如下表：

x	0	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，3)	3	（3，4）	4
g'（x）		+	0	-	0	+
g（x）	3	↗	41 8	↘	- 21 2	↗	-1

所以，g（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值為

41

8

，最小值為-

21

2

點評：本題主要考查了里利用數(shù)軸標(biāo)根法解一元二次不等式和導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進而求函數(shù)的最值．第一問屬常規(guī)題目較簡單而第二問要判斷導(dǎo)函數(shù)g'（x）=6x²-21x+9=3（x-3）（2x-1）在區(qū)間[0，4]上的正負(fù)進而判斷函數(shù)的單調(diào)性這一步十分重要！