Question

已知指數(shù)函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，4），且g（x）=|f（x）-1|．
（Ⅰ）作出函數(shù)g（x）的圖象，并指出它的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性；
（Ⅱ）已知方程g（x-1）=k+2有且僅有一個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用待定系數(shù)法，設(shè)f（x）=x^α，代入點(diǎn)（2，4），解指數(shù)方程即可得α值，進(jìn)而求出函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而利用平移變換法則及對(duì)折變換法則，畫出函數(shù)g（x）的圖象，根據(jù)圖象可分析出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性；
（II）若方程g（x-1）=k+2有且僅有一個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則函數(shù)y=g（x-1）與y=k+2有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答：解：（I）設(shè)y=f（x）=a^x，代入點(diǎn)（2，4）
得4=a²，
∴α=2，
∴f（x）=2^x
∵函數(shù)g（x）=|f（x）-1|，
故將函數(shù)f（x）的圖象向下平移一個(gè)單位，再做縱向的對(duì)折變換可得函數(shù)g（x）的圖象，
由圖可得，函數(shù)g（x）的有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間（-∞，0]，[0，+∞）
在區(qū)間（-∞，0]上函數(shù)為減函數(shù)，
在區(qū)間[0，+∞）上函數(shù)為增函數(shù)；
（II）函數(shù)y=g（x-1）的圖象由函數(shù)g（x）的圖象向右平移兩個(gè)單位得到
若方程g（x-1）=k+2有且僅有一個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
則函數(shù)y=g（x-1）與y=k+2有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，
由圖可得k+2=0或k+2＞1，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍為k=-2或k＞-1，

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間的求法及方程根的個(gè)數(shù)為載體考查了指數(shù)函數(shù)解析式的求法，指數(shù)函數(shù)的圖象，函數(shù)圖象平移變換及對(duì)折變換，是函數(shù)圖象和性質(zhì)是綜合應(yīng)用．