Question

已知指數(shù)函數(shù)y=g（x）滿足：g（2）=4，定義域為R的函數(shù)f（x）=

-g(x)+n

2g(x)+m

是奇函數(shù)．
（1）確定y=g（x）的解析式；
（2）求m，n的值；
（3）解不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求指數(shù)函數(shù)的解析式．（2）利用函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，得到f（0）=0，然后建立方程求解m，n即可．
（3）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)f（x）的奇偶性，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，解不等式即可．

解答：解：（1）設(shè)y=g（x）=a^x，
∵g（2）=4，∴a²=4，解得a=2，
∴g（x）=2^x．
（2）由（1）知：f（x）=

-2x+n

2x+1+m

，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
即

m-1

2+m

=0，解得m=1．
∴f（x）=

1-2x

2x+1+m

，
又由f（1）=-f（-1）知

1-2

4+m

=-

1- 1 2

m+1

，
解得m=2．
（3）由（2）知f（x）=

1-2x

2+2x+1

=-

1

2

+

1

2x+1

，
∵2^x為增函數(shù)，
∴2^x+1為增函數(shù)，

1

2x+1

為減函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，+∞）為減函數(shù)．
又∵（x）是奇函數(shù)，
從而不等式：f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0等價于，
f（t²-2t）＜-f（2t²-1）=f（1-2t²）
∵f（x）為減函數(shù)，由上式推得：t²-2t＞1-2t²，
∴3t²-2t-1＞0，
解得t＞1或t＜-

1

3

，
∴不等式的解集為（-∞，-

1

3

）∪（1，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．