Question

數(shù)列{a_n}滿足的前n項(xiàng)和S_n=2n-a_n，n∈N^*
（1）計(jì)算數(shù)列{a_n}的前4項(xiàng)；
（2）猜想a_n的表達(dá)式，并證明；
（3）求數(shù)列{n•a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）令n=1、2、3、4，再利用公式S_n=2n-a_n可以直接求出出數(shù)列{a_n}的前4項(xiàng)，
（2）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1可得a_n=2-a_n+a_n-1即：a_n=

1

2

a_n-1+2，然后整理得a_n-2=

1

2

（a_n-2），進(jìn)而求出a_n的通項(xiàng)公式，
（3）首先求出數(shù)列{n•a_n}的數(shù)列表達(dá)式an=2n-n(

1

2

)n-1，然后等差數(shù)列求和公式求出數(shù)列{2n}的前n項(xiàng)和，再利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{n(

1

2

)n-1}的前n項(xiàng)和，進(jìn)而求出數(shù)列{n•a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）計(jì)算得：a1=1，a2=

3

2

，a3=

7

4

，a4=

15

8

．（3分）
（2）∵s_n=2n-a_n當(dāng)n≥2時(shí)
∴s_n-1=2（n-1）-a_n-1兩式相減可得：a_n=2-a_n+a_n-1即：
∵a n=

1

2

an-1+1?a n-2=

1

2

(an-1-2)
所以，數(shù)列{a_n-2}是首項(xiàng)為a₁-2=-1公比為

1

2

的等比數(shù)列
∵a n-2=(-1)•(

1

2

)n-1?a n=2-(

1

2

)n-1
即an=

2n-1

2n-1

（7分）
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，
∴an=

2n-1

2n-1

，
（3）因?yàn)?span id="gc2yoma" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">n•an=2n-n•(

1

2

)n-1
設(shè)數(shù)列{n•(

1

2

)n-1}的前n項(xiàng)和為M_nM_n
=1•(

1

2

)0+2•(

1

2

)1+3•(

1

2

)2+n•(

1

2

)n-1

1

2

Mn
=1•(

1

2

)1+2•(

1

2

)2+(n-1)•(

1

2

)n-1+n•(

1

2

)n
兩式相減可得：

1

2

Mn=(

1

2

)0+(

1

2

)1+(

1

2

)2++(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n
=

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

-n•(

1

2

)n=2-(

1

2

)n-n•(

1

2

)n
=2-(n+1)•(

1

2

)nM_n
=4-(n+1)•(

1

2

)n+1（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列求和和數(shù)列遞推式的知識(shí)點(diǎn)，求數(shù)列遞推式可以用數(shù)學(xué)歸納法也可以直接利用a_n=S_n-S_n-1可求出a_n的通項(xiàng)公式，第三問求和需要利用錯(cuò)位相減法解答，本題難度不是很大．